6つの三角関数を単位円上に表すと？

　三角関数の$\sinθ,\cosθ,\tanθ$は単位円上で表すと以下のようになります。

半径1の単位円の円周とx軸と角度$θ$で交わる原点を通る直線$l$との交点のx座標が$\cosθ$、y座標が$\sinθ$、直線$l$と直線$x=1$との交点のy座標が$\tanθ$となります。

では、あと3つの三角関数$\cscθ,\secθ,\cotθ$は単位円上ではどこに現れるのでしょうか？

　上の図でx軸と直線$l$、直線$x=1$で囲まれた図形、直角三角形OABについて考えます。
この直角三角形は$∠OAB=90°,OA=1,AB=|\tanθ|$となります。

この△OABのOA、OBを入れ替えるようにひっくり返すと上図の△OTPとなります。OTは単位円の半径で$∠OTP=90°$なのでTPは単位円の接線となります。

三平方の定理より
\begin{align*}OP^2&=OT^2+TP^2\\ &=1^2+\tan^2θ\\ &=1+\tan^2θ\end{align*}
ここで、三角関数の相互関係
\[1+\tan^2θ=\frac{1}{\cos^2θ}\]
より
\begin{align*}OP^2&=\frac{1}{\cos^2θ}\\ \\ OP&=\left|\frac{1}{\cosθ}\right|\\ \\ &=|\secθ|\end{align*}
となります。

$\cosθ$と$\secθ$は互いに逆数の関係で点TとPのx座標は符号が一致するので点Pのx座標は$\secθ$となります。

　直線$l$とy軸とのなす角は$90°-θ$となることに着目すると、直線$l$と直線$y=1$との交点のx座標が$\tan(90°-θ)=\dfrac{1}{\tanθ}$となります。

y軸と直線$l$、直線$y=1$で囲まれた図形、直角三角形OCDについて考えます。
この直角三角形は$∠OCD=90°,OC=1,CD=\dfrac{1}{\tanθ}$となります。

この△OCDのOC、ODを入れ替えるようにひっくり返すと上図の△OTQとなります。OTは単位円の半径で$∠OTQ=90°$なのでTQは単位円の接線となります。

三平方の定理より
\begin{align*}OQ^2&=OT^2+TQ^2\\ &=1^2+\frac{1}{\tan^2θ}\\ \\ &=1+\cot^2θ\end{align*}
ここで、三角関数の相互関係
\[1+\cot^2θ=\csc^2θ\]
より
\begin{align*}OQ^2&=\csc^2θ\\ \\ OQ&=|\cscθ|\end{align*}
となります。

$\sinθ$と$\cscθ$は互いに逆数の関係で点TとQのy座標は符号が一致するので点Qのy座標は$\cscθ$となります。

　TPとTQはともに接点Tにおける単位円の接線であるのでT、P、Qは同一直線上にあるため△OTPと△OTQを合わせた図形はx軸とy軸、接点Tにおける接線で囲まれた直角三角形OPQとなります。

以上をまとめると上図のように直角三角形OPQ上に6つの三角関数が現れます。

$\sinθ,\cosθ,\cscθ,\secθ$は座標として現れますが、$\tanθ,\cotθ$は距離として現れるので$θ$がどの象限にあるのかで符号を判断する必要があります。