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2022年4月6日

6つの三角関数を単位円上に表すと?

 三角関数のsinθ,cosθ,tanθsinθ,cosθ,tanθは単位円上で表すと以下のようになります。
sinθ、cosθ、tanθ
半径1の単位円の円周とx軸と角度θθで交わる原点を通る直線lとの交点のx座標がcosθ、y座標がsinθ、直線lと直線x=1との交点のy座標がtanθとなります。
では、あと3つの三角関数cscθ,secθ,cotθは単位円上ではどこに現れるのでしょうか?

 上の図でx軸と直線l、直線x=1で囲まれた図形、直角三角形OABについて考えます。
この直角三角形はOAB=90°,OA=1,AB=|tanθ|となります。

この△OABのOA、OBを入れ替えるようにひっくり返すと上図の△OTPとなります。OTは単位円の半径でOTP=90°なのでTPは単位円の接線となります。

三平方の定理より
OP2=OT2+TP2=12+tan2θ=1+tan2θ
ここで、三角関数の相互関係
1+tan2θ=1cos2θ
より
OP2=1cos2θOP=|1cosθ|=|secθ|
となります。

cosθsecθは互いに逆数の関係で点TとPのx座標は符号が一致するので点Pのx座標はsecθとなります。

 直線lとy軸とのなす角は90°θとなることに着目すると、直線lと直線y=1との交点のx座標がtan(90°θ)=1tanθとなります。

y軸と直線l、直線y=1で囲まれた図形、直角三角形OCDについて考えます。
この直角三角形はOCD=90°,OC=1,CD=1tanθとなります。

この△OCDのOC、ODを入れ替えるようにひっくり返すと上図の△OTQとなります。OTは単位円の半径でOTQ=90°なのでTQは単位円の接線となります。

三平方の定理より
OQ2=OT2+TQ2=12+1tan2θ=1+cot2θ
ここで、三角関数の相互関係
1+cot2θ=csc2θ
より
OQ2=csc2θOQ=|cscθ|
となります。

sinθcscθは互いに逆数の関係で点TとQのy座標は符号が一致するので点Qのy座標はcscθとなります。

 TPとTQはともに接点Tにおける単位円の接線であるのでT、P、Qは同一直線上にあるため△OTPと△OTQを合わせた図形はx軸とy軸、接点Tにおける接線で囲まれた直角三角形OPQとなります。
sinθ、cosθ、tanθ、cscθ、secθ、cotθ
以上をまとめると上図のように直角三角形OPQ上に6つの三角関数が現れます。
sinθ,cosθ,cscθ,secθは座標として現れますが、tanθ,cotθは距離として現れるのでθがどの象限にあるのかで符号を判断する必要があります。
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