上の図でx軸と直線l、直線x=1で囲まれた図形、直角三角形OABについて考えます。
この直角三角形は∠OAB=90°,OA=1,AB=|tanθ|となります。
三平方の定理より
OP2=OT2+TP2=12+tan2θ=1+tan2θ
ここで、三角関数の相互関係
1+tan2θ=1cos2θ
より
OP2=1cos2θOP=|1cosθ|=|secθ|
となります。
cosθとsecθは互いに逆数の関係で点TとPのx座標は符号が一致するので点Pのx座標はsecθとなります。
y軸と直線l、直線y=1で囲まれた図形、直角三角形OCDについて考えます。
この直角三角形は∠OCD=90°,OC=1,CD=1tanθとなります。
三平方の定理より
OQ2=OT2+TQ2=12+1tan2θ=1+cot2θ
ここで、三角関数の相互関係
1+cot2θ=csc2θ
より
OQ2=csc2θOQ=|cscθ|
となります。
sinθとcscθは互いに逆数の関係で点TとQのy座標は符号が一致するので点Qのy座標はcscθとなります。
TPとTQはともに接点Tにおける単位円の接線であるのでT、P、Qは同一直線上にあるため△OTPと△OTQを合わせた図形はx軸とy軸、接点Tにおける接線で囲まれた直角三角形OPQとなります。
sinθ,cosθ,cscθ,secθは座標として現れますが、tanθ,cotθは距離として現れるのでθがどの象限にあるのかで符号を判断する必要があります。
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