上の図でx軸と直線l、直線x=1で囲まれた図形、直角三角形OABについて考えます。
この直角三角形は∠OAB=90°,OA=1,AB=|\tanθ|となります。
三平方の定理より
\begin{align*}OP^2&=OT^2+TP^2\\ &=1^2+\tan^2θ\\ &=1+\tan^2θ\end{align*}
ここで、三角関数の相互関係
1+\tan^2θ=\frac{1}{\cos^2θ}
より
\begin{align*}OP^2&=\frac{1}{\cos^2θ}\\ \\ OP&=\left|\frac{1}{\cosθ}\right|\\ \\ &=|\secθ|\end{align*}
となります。
\cosθと\secθは互いに逆数の関係で点TとPのx座標は符号が一致するので点Pのx座標は\secθとなります。
y軸と直線l、直線y=1で囲まれた図形、直角三角形OCDについて考えます。
この直角三角形は∠OCD=90°,OC=1,CD=\dfrac{1}{\tanθ}となります。
三平方の定理より
\begin{align*}OQ^2&=OT^2+TQ^2\\ &=1^2+\frac{1}{\tan^2θ}\\ \\ &=1+\cot^2θ\end{align*}
ここで、三角関数の相互関係
1+\cot^2θ=\csc^2θ
より
\begin{align*}OQ^2&=\csc^2θ\\ \\ OQ&=|\cscθ|\end{align*}
となります。
\sinθと\cscθは互いに逆数の関係で点TとQのy座標は符号が一致するので点Qのy座標は\cscθとなります。
TPとTQはともに接点Tにおける単位円の接線であるのでT、P、Qは同一直線上にあるため△OTPと△OTQを合わせた図形はx軸とy軸、接点Tにおける接線で囲まれた直角三角形OPQとなります。
\sinθ,\cosθ,\cscθ,\secθは座標として現れますが、\tanθ,\cotθは距離として現れるのでθがどの象限にあるのかで符号を判断する必要があります。
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