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2022年4月6日

6つの三角関数を単位円上に表すと?

 三角関数の\sinθ,\cosθ,\tanθは単位円上で表すと以下のようになります。
sinθ、cosθ、tanθ
半径1の単位円の円周とx軸と角度θで交わる原点を通る直線lとの交点のx座標が\cosθ、y座標が\sinθ、直線lと直線x=1との交点のy座標が\tanθとなります。
では、あと3つの三角関数\cscθ,\secθ,\cotθは単位円上ではどこに現れるのでしょうか?

 上の図でx軸と直線l、直線x=1で囲まれた図形、直角三角形OABについて考えます。
この直角三角形は∠OAB=90°,OA=1,AB=|\tanθ|となります。

この△OABのOA、OBを入れ替えるようにひっくり返すと上図の△OTPとなります。OTは単位円の半径で∠OTP=90°なのでTPは単位円の接線となります。

三平方の定理より
\begin{align*}OP^2&=OT^2+TP^2\\ &=1^2+\tan^2θ\\ &=1+\tan^2θ\end{align*}


ここで、三角関数の相互関係
1+\tan^2θ=\frac{1}{\cos^2θ}

より
\begin{align*}OP^2&=\frac{1}{\cos^2θ}\\ \\ OP&=\left|\frac{1}{\cosθ}\right|\\ \\ &=|\secθ|\end{align*}

となります。

\cosθ\secθは互いに逆数の関係で点TとPのx座標は符号が一致するので点Pのx座標は\secθとなります。

 直線lとy軸とのなす角は90°-θとなることに着目すると、直線lと直線y=1との交点のx座標が\tan(90°-θ)=\dfrac{1}{\tanθ}となります。

y軸と直線l、直線y=1で囲まれた図形、直角三角形OCDについて考えます。
この直角三角形は∠OCD=90°,OC=1,CD=\dfrac{1}{\tanθ}となります。

この△OCDのOC、ODを入れ替えるようにひっくり返すと上図の△OTQとなります。OTは単位円の半径で∠OTQ=90°なのでTQは単位円の接線となります。

三平方の定理より
\begin{align*}OQ^2&=OT^2+TQ^2\\ &=1^2+\frac{1}{\tan^2θ}\\ \\ &=1+\cot^2θ\end{align*}


ここで、三角関数の相互関係
1+\cot^2θ=\csc^2θ

より
\begin{align*}OQ^2&=\csc^2θ\\ \\ OQ&=|\cscθ|\end{align*}

となります。

\sinθ\cscθは互いに逆数の関係で点TとQのy座標は符号が一致するので点Qのy座標は\cscθとなります。

 TPとTQはともに接点Tにおける単位円の接線であるのでT、P、Qは同一直線上にあるため△OTPと△OTQを合わせた図形はx軸とy軸、接点Tにおける接線で囲まれた直角三角形OPQとなります。
sinθ、cosθ、tanθ、cscθ、secθ、cotθ
以上をまとめると上図のように直角三角形OPQ上に6つの三角関数が現れます。
\sinθ,\cosθ,\cscθ,\secθは座標として現れますが、\tanθ,\cotθは距離として現れるのでθがどの象限にあるのかで符号を判断する必要があります。
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