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2022年4月18日

代表的な角度が出てこない三角方程式

\sin^2θ-4\sinθ+2=0

0°\leqqθ<360°のとき、上の方程式を解け。角度は小数第1位まで書くこと。」


 一見すると普通の三角方程式のようなので、そのまま解き進めてみます。

\sinθ=xとおくと、
x^2-4x+2=0
2次方程式の解の公式
\begin{align*}ax^2+bx+c&=0\\ \\ x&=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}\end{align*}
より
x=\sinθ=2\pm\sqrt{2}
-1\leqq\sinθ\leqq1なので1より大きい2+\sqrt{2}は不適。
したがって、
\sinθ=2-\sqrt{2}≒0.586

 ここで、代表的な角度である0°、30°、45°、60°、90°の中に当てはまるものはありません。
\sqrt{2}≒1.41とすると2-\sqrt{2}≒0.59であり、\sin30°=\dfrac{1}{2}=0.5\sin45°=\dfrac{\sqrt{2}}{2}≒0.71であることから、
\begin{align*}\sin30°<&\sinθ<\sin45°\\ \\ 30°<&θ<45°\end{align*}
であることくらいしかわかりません。
このような場合はθを求めるには三角関数の逆関数、逆三角関数を利用するしかありません。

 逆三角関数とは、角度によって三角比が定まる三角関数に対し、三角比によって角度が定まる関数のことです。
三角関数\sin,\cos,\tanに対応して逆三角関数\sin^{-1},\cos^{-1},\tan^{-1}があります。※表記は\arcsin,\arccos,\arctanとも。読みは「アーク~~」
関数電卓などを使うと
θ=\arcsin(2-\sqrt{2})≒35.9°
と求められます。

 θの範囲は0°\leqqθ<360°であるため他にも条件を満たすθがないかを探します。
単位円における\sinθは単位円周上の点のy座標なので、
sinθ=35.9°
\sinθ=2-\sqrt{2}を満たすようなθは上図のようになります。0°\leqqθ<360°であるため第1象限と第2象限に1つずつの合計2つあります。

第1象限にある角は先ほど求めた35.9°です。
第2象限にある角は180°-35.9°=144.1°なので、問題の方程式の解は
θ=35.9°,144.1°
となります。


関連:三角関数を含む方程式(三角方程式)

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