正四面体の対辺が互いに垂直であることを確かめる

　正四面体の対辺が互いに垂直であることをベクトルを利用して確かめてみます。

　正四面体の面の1つがxy平面にあるとすると、その面の各頂点の座標を成分とする$\vec{A},\vec{B},\vec{C}$は
\begin{align*}\vec{A}&=(a_1,a_2,0)\\ \vec{B}&=(b_1,b_2,0)\\ \vec{C}&=(c_1,c_2,0)\end{align*}
となり、面ABCは正三角形なので
\[|\vec{AB}|=|\vec{BC}|=|\vec{CA}|\]
が成り立ちます。
なお
\begin{align*}\vec{AB}&=(b_1-a_1,b_2-a_2,0)\\ \vec{BC}&=(c_1-b_1,c_2-b_2,0)\\ \vec{CA}&=(a_1-c_1,a_2-c_2,0)\end{align*}
です。

正四面体のもう1つの頂点Dは面ABCに対し重心を通る法線上に存在します。

面ABCの重心の座標は

\[\left(\frac{a_1+b_1+c_1}{3},\frac{a_2+b_2+c_2}{3},0\right)\]

で1辺の長さが$1$の正四面体の高さ$h$は

\[h=\sqrt{\left(\frac{\sqrt{3}}{3}\right)^2-1^2}=\frac{\sqrt{6}}{3}\]

なので、$\vec{D}$の成分は

\[\vec{D}=\left(\frac{a_1+b_1+c_1}{3},\frac{a_2+b_2+c_2}{3},\frac{\sqrt{6}}{3}|\vec{AB}|\right)\]

となります。

この正四面体D-ABCの対辺の関係にあるのはABとCD、ACとBD、ADとBCの3組です。

なお

\begin{align*}\vec{AD}&=\left(\frac{a_1+b_1+c_1}{3}-a_1,\frac{a_2+b_2+c_2}{3}-a_2,\frac{\sqrt{6}}{3}|\vec{AB}|\right)\\ &=\frac{1}{3}(-2a_1+b_1+c_1,-2a_2+b_2+c_2,\sqrt{6}|\vec{AB}|)\\ \\ \vec{BD}&=\frac{1}{3}(a_1-2b_1+c_1,a_2-2b_2+c_2,\sqrt{6}|\vec{AB}|)\\ \\ \vec{CD}&=\frac{1}{3}(a_1+b_1-2c_1,a_2+b_2-2c_2,\sqrt{6}|\vec{AB}|)\end{align*}

です。

この3組の内積をそれぞれ求めてみると
\begin{align*}&\vec{AB}\cdot\vec{CD}\\ &=\frac{1}{3}\{(b_1-a_1)(a_1+b_1-2c_1)\\ &\qquad+(b_2-a_2)(a_2+b_2-2c_2)+0\cdot\sqrt{6}|\vec{AB}|\}\\ \\ &=\frac{1}{3}\left[(b_1-a_1)\{(a_1-c_1)+(b_1-c_1)\}\right.\\ &\qquad\left.+(b_2-a_2)\{(a_2-c_2)+(b_2-c_2)\}\right]\\ \\ &=\frac{1}{3}\left[\{(b_1-a_1)(a_1-c_1)+(b_2-a_2)(a_2-c_2)\}\right.\\ &\qquad+\left.\{(b_1-a_1)(b_1-c_1)+(b_2-a_2)(b_2-c_2)\}\right]\\ \\ &=\frac{1}{3}\left(\vec{AB}\cdot\vec{CA}+\vec{AB}\cdot\vec{CB}\right)\end{align*}

ここで、

\begin{align*}\vec{AB}\cdot\vec{CA}&=|\vec{AB}||\vec{CA}|\cos120°\\ &=|\vec{AB}|^2 (-\cos60°)\\ &=-\frac{|\vec{AB}|^2}{2}\\ \\ \vec{AB}\cdot\vec{CB}&=|\vec{AB}||\vec{CB}|\cos60°\\ &=|\vec{AB}|^2 \cos60°\\ &=\frac{|\vec{AB}|^2}{2}\end{align*}

となるから$\vec{AB}\cdot\vec{CD}=0$

$\vec{AC}\cdot\vec{BD},\vec{AD}\cdot\vec{BC}$についても同様に
\begin{align*}\vec{AC}\cdot\vec{BD}&=\frac{1}{3}\{(c_1-a_1)(a_1-2b_1+c_1)\\ &\qquad+(c_2-a_2)(a_2-2b_2+c_2)+0\cdot\sqrt{6}|\vec{AB}|\}\\ \\ &=\frac{1}{3}\left[\{(c_1-a_1)(a_1-b_1)+(c_2-a_2)(a_2-b_2)\}\right.\\ &\qquad+\left.\{(c_1-a_1)(c_1-b_1)+(c_2-a_2)(c_2-b_2)\}\right]\\ \\ &=\frac{1}{3}\left(\vec{AC}\cdot\vec{BA}+\vec{AC}\cdot\vec{BC}\right)\end{align*}

ここで、

\begin{align*}\vec{AC}\cdot\vec{BA}&=|\vec{AC}||\vec{BA}|\cos120°\\ &=-\frac{|\vec{AB}|^2}{2}\\ \\ \vec{AC}\cdot\vec{BC}&=|\vec{AC}||\vec{BC}|\cos60°\\ &=\frac{|\vec{AB}|^2}{2}\end{align*}

となるから$\vec{AC}\cdot\vec{BD}=0$

\begin{align*}\vec{AD}\cdot\vec{BC}&=\frac{1}{3}\{(-2a_1+b_1+c_1)(c_1-b_1)\\ &\qquad+(-2a_2+b_2+c_2)(c_2-b_2)+0\cdot\sqrt{6}|\vec{AB}|\}\\ \\ &=\frac{1}{3}\left[\{(b_1-a_1)(c_1-b_1)+(b_2-a_2)(c_2-b_2)\}\right.\\ &\qquad+\left.\{(c_1-a_1)(c_1-b_1)+(c_2-a_2)(c_2-b_2)\}\right]\\ \\ &=\frac{1}{3}\left(\vec{AB}\cdot\vec{BC}+\vec{AC}\cdot\vec{BC}\right)\end{align*}

ここで、

\begin{align*}\vec{AB}\cdot\vec{BC}&=|\vec{AB}||\vec{BC}|\cos120°\\ &=|\vec{AB}|^2 (-\cos60°)\\ &=-\frac{|\vec{AB}|^2}{2}\\ \\ \vec{AC}\cdot\vec{BC}&=|\vec{AC}||\vec{BC}|\cos60°\\ &=\frac{|\vec{AB}|^2}{2}\end{align*}

となるから$\vec{AD}\cdot\vec{BC}=0$

以上より、3つの内積は$0$になるから正四面体の3組ある対辺は互いに垂直であることがわかります。

関連：ベクトルの内積の求め方