正四面体の対辺が互いに垂直であることを確かめる

　正四面体の対辺が互いに垂直であることをベクトルを利用して確かめてみます。

　正四面体の面の1つがxy平面にあるとすると、その面の各頂点の座標を成分とする$\vec{\text{A}},\vec{\text{B}},\vec{\text{C}}$は

$$\begin{align*}\vec{\text{A}}&=(a_1,a_2,0)\\[1em]\vec{\text{B}}&=(b_1,b_2,0)\\[1em]\vec{\text{C}}&=(c_1,c_2,0)\end{align*}$$

となり、面$\text{ABC}$は正三角形なので

$$|\vec{\text{AB}}|=|\vec{\text{BC}}|=|\vec{\text{CA}}|$$

が成り立ちます。
なお

$$\begin{align*}\vec{\text{AB}}&=(b_1-a_1,b_2-a_2,0)\\[1em]\vec{\text{BC}}&=(c_1-b_1,c_2-b_2,0)\\[1em]\vec{\text{CA}}&=(a_1-c_1,a_2-c_2,0)\end{align*}$$

です。

正四面体のもう1つの頂点$\text{D}$は面$\text{ABC}$に対し重心を通る法線上に存在します。
面$\text{ABC}$の重心の座標は

$$\left(\frac{a_1+b_1+c_1}{3},\frac{a_2+b_2+c_2}{3},0\right)$$

で1辺の長さが$1$の正四面体の高さ$h$は

$$h=\sqrt{\left(\frac{\sqrt{3}}{3}\right)^2-1^2}=\frac{\sqrt{6}}{3}$$

なので、$\vec{\text{D}}$の成分は

$$\vec{\text{D}}=\left(\frac{a_1+b_1+c_1}{3},\frac{a_2+b_2+c_2}{3},\frac{\sqrt{6}}{3}|\vec{\text{AB}}|\right)$$

となります。

この正四面体$\text{D-ABC}$の対辺の関係にあるのは$\text{AB}$と$\text{CD}$、$\text{AC}$と$\text{BD}$、$\text{AD}$と$\text{BC}$の3組です。

なお

$$\begin{align*}\vec{\text{AD}}&=\left(\frac{a_1+b_1+c_1}{3}-a_1,\frac{a_2+b_2+c_2}{3}-a_2,\frac{\sqrt{6}}{3}|\vec{\text{AB}}|\right)\\[0.5em]&=\frac{1}{3}(-2a_1+b_1+c_1,-2a_2+b_2+c_2,\sqrt{6}|\vec{\text{AB}}|)\\[1em]\vec{\text{BD}}&=\frac{1}{3}(a_1-2b_1+c_1,a_2-2b_2+c_2,\sqrt{6}|\vec{\text{AB}}|)\\[1em]\vec{\text{CD}}&=\frac{1}{3}(a_1+b_1-2c_1,a_2+b_2-2c_2,\sqrt{6}|\vec{\text{AB}}|)\end{align*}$$

です。

この3組の内積をそれぞれ求めてみると

$$\begin{align*}&\vec{\text{AB}}\cdot\vec{\text{CD}}\\[0.5em]&=\frac{1}{3}\{(b_1-a_1)(a_1+b_1-2c_1)\\ &\qquad+(b_2-a_2)(a_2+b_2-2c_2)+0\cdot\sqrt{6}|\vec{\text{AB}}|\}\\[0.5em]&=\frac{1}{3}\left[(b_1-a_1)\{(a_1-c_1)+(b_1-c_1)\}\right.\\ &\qquad\left.+(b_2-a_2)\{(a_2-c_2)+(b_2-c_2)\}\right]\\[0.5em]&=\frac{1}{3}\left[\{(b_1-a_1)(a_1-c_1)+(b_2-a_2)(a_2-c_2)\}\right.\\ &\qquad+\left.\{(b_1-a_1)(b_1-c_1)+(b_2-a_2)(b_2-c_2)\}\right]\\[0.5em]&=\frac{1}{3}\left(\vec{\text{AB}}\cdot\vec{\text{CA}}+\vec{\text{AB}}\cdot\vec{\text{CB}}\right)\end{align*}$$

ここで、

$$\begin{align*}\vec{\text{AB}}\cdot\vec{\text{CA}}&=|\vec{\text{AB}}||\vec{\text{CA}}|\cos120°\\ &=|\vec{\text{AB}}|^2 (-\cos60°)\\[0.5em]&=-\frac{|\vec{\text{AB}}|^2}{2}\\[1em]\vec{\text{AB}}\cdot\vec{\text{CB}}&=|\vec{\text{AB}}||\vec{\text{CB}}|\cos60°\\ &=|\vec{\text{AB}}|^2 \cos60°[0.5em]&=\frac{|\vec{\text{AB}}|^2}{2}\end{align*}$$

となるから$\vec{\text{AB}}\cdot\vec{\text{CD}}=0$

$\vec{\text{AC}}\cdot\vec{\text{BD}},\vec{\text{AD}}\cdot\vec{\text{BC}}$についても同様に

$$\begin{align*}\vec{\text{AC}}\cdot\vec{\text{BD}}&=\frac{1}{3}\{(c_1-a_1)(a_1-2b_1+c_1)\\ &\qquad+(c_2-a_2)(a_2-2b_2+c_2)+0\cdot\sqrt{6}|\vec{\text{AB}}|\}\\[0.5em]&=\frac{1}{3}\left[\{(c_1-a_1)(a_1-b_1)+(c_2-a_2)(a_2-b_2)\}\right.\\ &\qquad+\left.\{(c_1-a_1)(c_1-b_1)+(c_2-a_2)(c_2-b_2)\}\right]\\[0.5em]&=\frac{1}{3}\left(\vec{\text{AC}}\cdot\vec{\text{BA}}+\vec{\text{AC}}\cdot\vec{\text{BC}}\right)\end{align*}$$

ここで、

$$\begin{align*}\vec{\text{AC}}\cdot\vec{\text{BA}}&=|\vec{\text{AC}}||\vec{\text{BA}}|\cos120°\\[0.5em]&=-\frac{|\vec{\text{AB}}|^2}{2}\\[1em]\vec{\text{AC}}\cdot\vec{\text{BC}}&=|\vec{\text{AC}}||\vec{\text{BC}}|\cos60°\\[0.5em]&=\frac{|\vec{\text{AB}}|^2}{2}\end{align*}$$

となるから$\vec{\text{AC}}\cdot\vec{\text{BD}}=0$

$$\begin{align*}\vec{\text{AD}}\cdot\vec{\text{BC}}&=\frac{1}{3}\{(-2a_1+b_1+c_1)(c_1-b_1)\\ &\qquad+(-2a_2+b_2+c_2)(c_2-b_2)+0\cdot\sqrt{6}|\vec{\text{AB}}|\}\\[0.5em]&=\frac{1}{3}\left[\{(b_1-a_1)(c_1-b_1)+(b_2-a_2)(c_2-b_2)\}\right.\\ &\qquad+\left.\{(c_1-a_1)(c_1-b_1)+(c_2-a_2)(c_2-b_2)\}\right]\\[0.5em]&=\frac{1}{3}\left(\vec{\text{AB}}\cdot\vec{\text{BC}}+\vec{\text{AC}}\cdot\vec{\text{BC}}\right)\end{align*}$$

ここで、

$$\begin{align*}\vec{\text{AB}}\cdot\vec{\text{BC}}&=|\vec{\text{AB}}||\vec{\text{BC}}|\cos120°\\[0.5em]&=|\vec{\text{AB}}|^2 (-\cos60°)\\[0.5em]&=-\frac{|\vec{\text{AB}}|^2}{2}\\[1em]\vec{\text{AC}}\cdot\vec{\text{BC}}&=|\vec{\text{AC}}||\vec{\text{BC}}|\cos60°\\[0.5em]&=\frac{|\vec{\text{AB}}|^2}{2}\end{align*}$$

となるから$\vec{\text{AD}}\cdot\vec{\text{BC}}=0$

以上より、3つの内積は$0$になるから正四面体の3組ある対辺は互いに垂直であることがわかります。

関連：ベクトルの内積の求め方