正四面体の対辺が互いに垂直であることをベクトルを利用して確かめてみます。
正四面体の面の1つがxy平面にあるとすると、その面の各頂点の座標を成分とする$\vec{A},\vec{B},\vec{C}$は
なお
\begin{align*}\vec{A}&=(a_1,a_2,0)\\[1em]\vec{B}&=(b_1,b_2,0)\\[1em]\vec{C}&=(c_1,c_2,0)\end{align*}
となり、面$ABC$は正三角形なので
\[|\vec{AB}|=|\vec{BC}|=|\vec{CA}|\]
が成り立ちます。なお
\begin{align*}\vec{AB}&=(b_1-a_1,b_2-a_2,0)\\[1em]\vec{BC}&=(c_1-b_1,c_2-b_2,0)\\[1em]\vec{CA}&=(a_1-c_1,a_2-c_2,0)\end{align*}
です。
正四面体のもう1つの頂点$D$は面$ABC$に対し重心を通る法線上に存在します。
面$ABC$の重心の座標は
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面$ABC$の重心の座標は
\[\left(\frac{a_1+b_1+c_1}{3},\frac{a_2+b_2+c_2}{3},0\right)\]
で1辺の長さが$1$の正四面体の高さ$h$は
.png)
\[h=\sqrt{\left(\frac{\sqrt{3}}{3}\right)^2-1^2}=\frac{\sqrt{6}}{3}\]
なので、$\vec{D}$の成分は
\[\vec{D}=\left(\frac{a_1+b_1+c_1}{3},\frac{a_2+b_2+c_2}{3},\frac{\sqrt{6}}{3}|\vec{AB}|\right)\]
となります。
この正四面体$D-ABC$の対辺の関係にあるのは$AB$と$CD$、$AC$と$BD$、$AD$と$BC$の3組です。
なお
\begin{align*}\vec{AD}&=\left(\frac{a_1+b_1+c_1}{3}-a_1,\frac{a_2+b_2+c_2}{3}-a_2,\frac{\sqrt{6}}{3}|\vec{AB}|\right)\\[0.5em]&=\frac{1}{3}(-2a_1+b_1+c_1,-2a_2+b_2+c_2,\sqrt{6}|\vec{AB}|)\\[1em]\vec{BD}&=\frac{1}{3}(a_1-2b_1+c_1,a_2-2b_2+c_2,\sqrt{6}|\vec{AB}|)\\[1em]\vec{CD}&=\frac{1}{3}(a_1+b_1-2c_1,a_2+b_2-2c_2,\sqrt{6}|\vec{AB}|)\end{align*}
です。
この3組の内積をそれぞれ求めてみると
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ここで、
\begin{align*}&\vec{AB}\cdot\vec{CD}\\[0.5em]&=\frac{1}{3}\{(b_1-a_1)(a_1+b_1-2c_1)\\
&\qquad+(b_2-a_2)(a_2+b_2-2c_2)+0\cdot\sqrt{6}|\vec{AB}|\}\\[0.5em]&=\frac{1}{3}\left[(b_1-a_1)\{(a_1-c_1)+(b_1-c_1)\}\right.\\
&\qquad\left.+(b_2-a_2)\{(a_2-c_2)+(b_2-c_2)\}\right]\\[0.5em]&=\frac{1}{3}\left[\{(b_1-a_1)(a_1-c_1)+(b_2-a_2)(a_2-c_2)\}\right.\\
&\qquad+\left.\{(b_1-a_1)(b_1-c_1)+(b_2-a_2)(b_2-c_2)\}\right]\\[0.5em]&=\frac{1}{3}\left(\vec{AB}\cdot\vec{CA}+\vec{AB}\cdot\vec{CB}\right)\end{align*}
.png)
\begin{align*}\vec{AB}\cdot\vec{CA}&=|\vec{AB}||\vec{CA}|\cos120°\\
&=|\vec{AB}|^2
(-\cos60°)\\[0.5em]&=-\frac{|\vec{AB}|^2}{2}\\[1em]\vec{AB}\cdot\vec{CB}&=|\vec{AB}||\vec{CB}|\cos60°\\
&=|\vec{AB}|^2
\cos60°[0.5em]&=\frac{|\vec{AB}|^2}{2}\end{align*}
となるから$\vec{AB}\cdot\vec{CD}=0$
$\vec{AC}\cdot\vec{BD},\vec{AD}\cdot\vec{BC}$についても同様に
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ここで、
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ここで、
\begin{align*}\vec{AC}\cdot\vec{BD}&=\frac{1}{3}\{(c_1-a_1)(a_1-2b_1+c_1)\\
&\qquad+(c_2-a_2)(a_2-2b_2+c_2)+0\cdot\sqrt{6}|\vec{AB}|\}\\[0.5em]&=\frac{1}{3}\left[\{(c_1-a_1)(a_1-b_1)+(c_2-a_2)(a_2-b_2)\}\right.\\
&\qquad+\left.\{(c_1-a_1)(c_1-b_1)+(c_2-a_2)(c_2-b_2)\}\right]\\[0.5em]&=\frac{1}{3}\left(\vec{AC}\cdot\vec{BA}+\vec{AC}\cdot\vec{BC}\right)\end{align*}
.png)
\begin{align*}\vec{AC}\cdot\vec{BA}&=|\vec{AC}||\vec{BA}|\cos120°\\[0.5em]&=-\frac{|\vec{AB}|^2}{2}\\[1em]\vec{AC}\cdot\vec{BC}&=|\vec{AC}||\vec{BC}|\cos60°\\[0.5em]&=\frac{|\vec{AB}|^2}{2}\end{align*}
となるから$\vec{AC}\cdot\vec{BD}=0$
\begin{align*}\vec{AD}\cdot\vec{BC}&=\frac{1}{3}\{(-2a_1+b_1+c_1)(c_1-b_1)\\
&\qquad+(-2a_2+b_2+c_2)(c_2-b_2)+0\cdot\sqrt{6}|\vec{AB}|\}\\[0.5em]&=\frac{1}{3}\left[\{(b_1-a_1)(c_1-b_1)+(b_2-a_2)(c_2-b_2)\}\right.\\
&\qquad+\left.\{(c_1-a_1)(c_1-b_1)+(c_2-a_2)(c_2-b_2)\}\right]\\[0.5em]&=\frac{1}{3}\left(\vec{AB}\cdot\vec{BC}+\vec{AC}\cdot\vec{BC}\right)\end{align*}
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\begin{align*}\vec{AB}\cdot\vec{BC}&=|\vec{AB}||\vec{BC}|\cos120°\\[0.5em]&=|\vec{AB}|^2
(-\cos60°)\\[0.5em]&=-\frac{|\vec{AB}|^2}{2}\\[1em]\vec{AC}\cdot\vec{BC}&=|\vec{AC}||\vec{BC}|\cos60°\\[0.5em]&=\frac{|\vec{AB}|^2}{2}\end{align*}
となるから$\vec{AD}\cdot\vec{BC}=0$
以上より、3つの内積は$0$になるから正四面体の3組ある対辺は互いに垂直であることがわかります。
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