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2022年4月13日

なぜ位置を表す時間の関数x(t)を微分すると速度がわかるのか?

 位置を表す時間の関数x(t)はある時点での移動距離を表した関数のことです。
例えばx(t)=2tの場合はt=1[s]後にはスタート位置からx(1)=2×1=2[m]移動している、のようになります。
これをtで微分すればx'(t)=2[m/s]となり速度がわかるのですが、なぜ速度が求まるのでしょうか?

 位置を表す時間の関数x(t)をもちいるとt=t_1のとき移動距離はx(t_1)t=t_2のとき移動距離はx(t_2)となります。

この2点間の平均変化率を求めると
\begin{equation}\frac{x(t_2)-x(t_1)}{t_2-t_1}\end{equation}
となります。
この平均変化率は2点間を通る直線の傾きを表します。
また、分子と分母が何であるかに着目すると、分子はt_1からt_2の間に移動した距離、分母はt_1からt_2までの経過時間、すなわち移動距離÷時間であるため、t_1からt_2の間の平均速度を表すことがわかります。

したがって、上図のx-tグラフにおける傾きは速度を表していることがわかります。


 ここで、t_1t_2の時間差を限りなく小さくした場合を考えます。

このときの傾き、すなわち速度はt=t_1時点での速度を表すことになります。
これは(1)をもちいれば
\lim_{t_2\to t_1}\frac{x(t_2)-x(t_1)}{t_2-t_1}
と表せます。

あるいはt_1t_2の時間差が\Delta tであるとするとt_2=t_1+\Delta tと書けることからt_2\to t_1t_1+\Delta t\to t_1、すなわち\Delta t\to0であるから
\lim_{\Delta t\to0}\frac{x(t_1+\Delta t)-x(t_1)}{(t_1+\Delta t)-t_1}=\lim_{\Delta t\to0}\frac{x(t_1+\Delta t)-x(t_1)}{\Delta t}
と書けます。
これはf(x)xで微分したときの定義式
\lim_{h\to0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}
と同じ形になります。

したがって、微分の定義式から考えればx(t)tで微分したx'(t)は任意の時間における速度を表す関数となることがわかります。

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