\sinθ,\cosθ,\tanθの相互関係は
\begin{align*}\tan\theta&=\frac{\sin\theta}{\cos\theta}\tag{a}\\[1em]\sin^2\theta+\cos^2\theta&=1\tag{b}\\[1em]1+\tan^2\theta&=\frac{1}{\cos^2\theta}\tag{c}\end{align*}
であるので、これらを使い\cscθ,\secθ,\cotθの相互関係を調べてみます。
\cscθ,\secθ,\cotθと\sinθ,\cosθ,\tanθは互いに逆数の関係で
\csc\theta=\frac{1}{\sin\theta},\ \sec\theta=\frac{1}{\cos\theta},\ \cot\theta=\frac{1}{\tan\theta}
となります。
\text{(a)}を変形すると
\tan\theta=\sin\theta\cdot\frac{1}{\cos\theta}
両辺の逆数をとると
\begin{align*}\frac{1}{\tan\theta}&=\frac{1}{\sin\theta}\cdot\cos\theta\\[0.5em]&=\frac{1}{\sin\theta}\cdot\cfrac{1}{\cfrac{1}{\cos\theta}}\end{align*}
\cscθ,\secθ,\cotθに直せば
\begin{align*}\cotθ&=\cscθ\cdot\frac{1}{\sec\theta}\\[0.5em]&=\frac{\csc\theta}{\sec\theta}\tag{d}\end{align*}
となります。
\text{(b)}を変形すると
\cfrac{1}{\cfrac{1}{\sin^2\theta}}+\cfrac{1}{\cfrac{1}{\cos^2\theta}}=1
\cscθ,\secθに直せば
\frac{1}{\csc^2θ}+\frac{1}{\sec^2θ}=1\tag{e}
となります。 さらに両辺に\csc^2θを掛けると
\begin{align*}1+\frac{\csc^2\theta}{\sec^2\theta}&=\csc^2\theta\\[0.5em]1+\cot^2\theta&=\csc^2\theta\\[0.5em]\therefore\csc^2\theta-\cot^2\theta&=1\tag{f}\end{align*}
となります。
\text{(d),(e),(f)}より\cscθ,\secθ,\cotθの相互関係は
\begin{align*}\cotθ&=\frac{\cscθ}{\secθ}\\[1em]\frac{1}{\csc^2θ}+\frac{1}{\sec^2θ}&=1\\[1em]\csc^2\theta-\cot^2\theta&=1\end{align*}
となります。
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