cscθ、secθ、cotθの相互関係

　$\sinθ,\cosθ,\tanθ$の相互関係は

$$\begin{align*}\tan\theta&=\frac{\sin\theta}{\cos\theta}\tag{a}\\[1em]\sin^2\theta+\cos^2\theta&=1\tag{b}\\[1em]1+\tan^2\theta&=\frac{1}{\cos^2\theta}\tag{c}\end{align*}$$

であるので、これらを使い$\cscθ,\secθ,\cotθ$の相互関係を調べてみます。

　$\cscθ,\secθ,\cotθ$と$\sinθ,\cosθ,\tanθ$は互いに逆数の関係で

$$\csc\theta=\frac{1}{\sin\theta},\ \sec\theta=\frac{1}{\cos\theta},\ \cot\theta=\frac{1}{\tan\theta}$$

となります。

　$\text{(a)}$を変形すると

$$\tan\theta=\sin\theta\cdot\frac{1}{\cos\theta}$$

両辺の逆数をとると

$$\begin{align*}\frac{1}{\tan\theta}&=\frac{1}{\sin\theta}\cdot\cos\theta\\[0.5em]&=\frac{1}{\sin\theta}\cdot\cfrac{1}{\cfrac{1}{\cos\theta}}\end{align*}$$

$\cscθ,\secθ,\cotθ$に直せば

$$\begin{align*}\cotθ&=\cscθ\cdot\frac{1}{\sec\theta}\\[0.5em]&=\frac{\csc\theta}{\sec\theta}\tag{d}\end{align*}$$

となります。

　$\text{(b)}$を変形すると

$$\cfrac{1}{\cfrac{1}{\sin^2\theta}}+\cfrac{1}{\cfrac{1}{\cos^2\theta}}=1$$

$\cscθ,\secθ$に直せば

$$\frac{1}{\csc^2θ}+\frac{1}{\sec^2θ}=1\tag{e}$$

となります。

　さらに両辺に$\csc^2θ$を掛けると

$$\begin{align*}1+\frac{\csc^2\theta}{\sec^2\theta}&=\csc^2\theta\\[0.5em]1+\cot^2\theta&=\csc^2\theta\\[0.5em]\therefore\csc^2\theta-\cot^2\theta&=1\tag{f}\end{align*}$$

となります。

　$\text{(d),(e),(f)}$より$\cscθ,\secθ,\cotθ$の相互関係は

$$\begin{align*}\cotθ&=\frac{\cscθ}{\secθ}\\[1em]\frac{1}{\csc^2θ}+\frac{1}{\sec^2θ}&=1\\[1em]\csc^2\theta-\cot^2\theta&=1\end{align*}$$

となります。

関連：三角関数の相互関係