$\sinθ,\cosθ,\tanθ$の相互関係は
\begin{align*}\tan\theta&=\frac{\sin\theta}{\cos\theta}\tag{a}\\[1em]\sin^2\theta+\cos^2\theta&=1\tag{b}\\[1em]1+\tan^2\theta&=\frac{1}{\cos^2\theta}\tag{c}\end{align*}
であるので、これらを使い$\cscθ,\secθ,\cotθ$の相互関係を調べてみます。
$\cscθ,\secθ,\cotθ$と$\sinθ,\cosθ,\tanθ$は互いに逆数の関係で
\[\csc\theta=\frac{1}{\sin\theta},\ \sec\theta=\frac{1}{\cos\theta},\ \cot\theta=\frac{1}{\tan\theta}\]
となります。
$\text{(a)}$を変形すると
\[\tan\theta=\sin\theta\cdot\frac{1}{\cos\theta}\]
両辺の逆数をとると
\begin{align*}\frac{1}{\tan\theta}&=\frac{1}{\sin\theta}\cdot\cos\theta\\[0.5em]&=\frac{1}{\sin\theta}\cdot\cfrac{1}{\cfrac{1}{\cos\theta}}\end{align*}
$\cscθ,\secθ,\cotθ$に直せば
\begin{align*}\cotθ&=\cscθ\cdot\frac{1}{\sec\theta}\\[0.5em]&=\frac{\csc\theta}{\sec\theta}\tag{d}\end{align*}
となります。
$\text{(b)}$を変形すると
\[\cfrac{1}{\cfrac{1}{\sin^2\theta}}+\cfrac{1}{\cfrac{1}{\cos^2\theta}}=1\]
$\cscθ,\secθ$に直せば
\[\frac{1}{\csc^2θ}+\frac{1}{\sec^2θ}=1\tag{e}\]
となります。 さらに両辺に$\csc^2θ$を掛けると
\begin{align*}1+\frac{\csc^2\theta}{\sec^2\theta}&=\csc^2\theta\\[0.5em]1+\cot^2\theta&=\csc^2\theta\\[0.5em]\therefore\csc^2\theta-\cot^2\theta&=1\tag{f}\end{align*}
となります。
$\text{(d),(e),(f)}$より$\cscθ,\secθ,\cotθ$の相互関係は
\begin{align*}\cotθ&=\frac{\cscθ}{\secθ}\\[1em]\frac{1}{\csc^2θ}+\frac{1}{\sec^2θ}&=1\\[1em]\csc^2\theta-\cot^2\theta&=1\end{align*}
となります。
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