指数が未知数の方程式 指数方程式

$$\Large 3^{x+2}-3^{2x+1}=6$$

次の方程式を解け。

　このような方程式を解く場合、指数法則を利用します。この問題で利用するのは、

$$\begin{align}a^b\cdot a^c&=a^{b+c}\\[1em]\left(a^b\right)^c&=a^{bc}\end{align}$$

です。これらを使うと指数のある項は以下のようになります。

$$\begin{align*}3^{x+2}&=3^2\cdot 3^x\\[0.5em]&=9\cdot 3^x\\[1em]3^{2x+1}&=3\cdot3^{2x}\\[0.5em]&=3\cdot(3^x)^2\end{align*}$$

与式に上の変形を行う後、移項して

$$\begin{align*}3^{2x+1}-3^{x+2}+6&=0\\ 3\cdot (3^x)^2-9\cdot 3^x+6&=0\end{align*}$$

$3^x=X\ (X>0)$と置き換えると2次方程式になるのでこれを解きます。

$$\begin{align*}3X^2-9X+6&=0\\[0.5em]3(X-1)(X-2)&=0\\[0.5em]X=1,2\end{align*}$$

$X$をもとに戻して$x$を求めます。

$$\begin{align*}X=1のとき\\ 3^x&=1\\[0.5em]3^x&=3^0\\[0.5em]x&=0\\[1em]X=2のとき\\ 3^x&=2\\[0.5em]3^x&=3^{\log_3{2}}\\[0.5em]x&=\log_3{2}\\[1em]\therefore x&=0,\log_3{2}\end{align*}$$

関連：指数の計算法則