\[\Large 3^{x+2}-3^{2x+1}=6\]
次の方程式を解け。
このような方程式を解く場合、指数法則を利用します。この問題で利用するのは、
\begin{align}a^b\cdot
a^c&=a^{b+c}\\[1em]\left(a^b\right)^c&=a^{bc}\end{align}
です。これらを使うと指数のある項は以下のようになります。
\begin{align*}3^{x+2}&=3^2\cdot 3^x\\[0.5em]&=9\cdot
3^x\\[1em]3^{2x+1}&=3\cdot3^{2x}\\[0.5em]&=3\cdot(3^x)^2\end{align*}
与式に上の変形を行った後、移項して
\begin{align*}3^{2x+1}-3^{x+2}+6&=0\\ 3\cdot (3^x)^2-9\cdot
3^x+6&=0\end{align*}
$3^x=X\ (X>0)$と置き換えると2次方程式になるのでこれを解きます。
\begin{align*}3X^2-9X+6&=0\\[0.5em]3(X-1)(X-2)&=0\\[0.5em]X=1,2\end{align*}
$X$をもとに戻して$x$を求めます。
\begin{align*}X=1のとき\\
3^x&=1\\[0.5em]3^x&=3^0\\[0.5em]x&=0\\[1em]X=2のとき\\
3^x&=2\\[0.5em]3^x&=3^{\log_3{2}}\\[0.5em]x&=\log_3{2}\\[1em]\therefore
x&=0,\log_3{2}\end{align*}
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