直交する直線に接する2つの円とその半径

図1　直交する直線と2つの円

「直交する2本の直線を接線とする円が２つあり、円どうしは交わらず接している。小さい方の円の半径が1であるとき、大きい方の円の半径$x$を求めよ。」

このような問題はどのように解けばよいのでしょうか？

図2　直角三角形を作る

　2本の直線の交点を$A$とし、小さい方の円の中心を$O$、大きい方の円の中心を$O'$とおきます。
中心$O$から直線の1つに垂線をおろし交点を$B$、中心$O’$から点$B$のある直線に垂線をおろし交点を$C$とします。
線分$AO’$を引くと$△OAB$と$△O'AC$という直角二等辺三角形ができます。

　まずは$△OAB$の斜辺の長さを調べます。
斜辺の長さを$a$とすると、三平方の定理より

\begin{align*}a^2&=1^2+1^2\\ &=1+1=2\\ a&=\sqrt{2}&(a>0)\end{align*}

$△OAB$と$△O'AC$は直角三角形の鋭角の1つが等しいので相似であり、相似比は$1:x$です。
このことから$OA:O'A=1:x$であるから、

\begin{align*}OA:O'A&=1:x\\ \sqrt{2}:1+\sqrt{2}+x&=1:x\\ \sqrt{2}x&=1+\sqrt{2}+x\\ (\sqrt{2}-1)x&=1+\sqrt{2}\\ x&=\frac{1+\sqrt{2}}{\sqrt{2}-1}\\ &=\frac{1+\sqrt{2}}{\sqrt{2}-1}×\frac{\sqrt{2}+1}{\sqrt{2}+1}\\ &=\frac{3+2\sqrt{2}}{2-1}\\ &=\underline{3+2\sqrt{2}}\end{align*}

このように$x$を求めることができました。