多項定理を使わずに二項定理で解いてみる ~ 数学について考えてみる

2021年9月26日

PLUMBAGO

「

(a + 2 b + 3 c)^{5}

$(a+2b+3c)^5$ の展開式における

a^{3} b c

$a^3 bc$ の係数を求めよ。」

[03　帝塚山大]

　この問題は多項定理を使って解くのですが、二項定理で解いてみます。

多項定理を使った場合

(a + b + c)^{n}

$(a+b+c)^n$ の展開式における

a^{p} b^{q} c^{r}

$a^p b^q c^r$ の係数は、

\frac{n!}{p! q! r!}

$\dfrac{n!}{p! q! r!}$ となるので、

\begin{aligned} \frac{5!}{3! 1! 1!} \times a^{3} \times 2 b \times 3 c & = 5 \times 4 \times 2 \times 3 a^{3} b c \\ = 120 a^{3} b c \end{aligned}

$\begin{align*}\frac{5!}{3!1!1!}× a^3× 2b×3c&=5× 4× 2× 3a^3 bc\\ &=120a^3 bc\end{align*}$

よって、求める係数は120。

　まず、

{a + (2 b + 3 c)}

$\left\{a+(2b+3c)\right\}$ とし、

a^{3} (2 b + 3 c)^{2}

$a^3(2b+3c)^2$ の係数について考えます。

(a + b)^{n}

$(a+b)^n$ の展開式における

a^{p} b^{n - p}

$a^p b^{n-p}$ の係数は、

_{n} C_{p} = \frac{n!}{p! (n - p)!}

${_nC_p}=\dfrac{n!}{p!(n-p)!}$ となるので、

_{5} C_{3} a^{3} (2 b + 3 c)^{2} = 10 a^{3} (2 b + 3 c)^{2}

$_5C_3a^3(2b+3c)^2=10a^3(2b+3c)^2$

　次に

(2 b + 3 c)^{2}

$(2b+3c)^2$ の展開式における

b c

$bc$ の係数について考えます。

\begin{aligned} _{2} C_{1} \times 2 b \times 3 c & = 2 \times 2 \times 3 b c \\ = 12 b c \end{aligned}

$\begin{align*}_2C_1× 2b× 3c&=2× 2× 3bc\\ &=12bc\end{align*}$

よって、

a^{3} b c

$a^3bc$ の係数は

10 a^{3} \times 12 b c = 120 a^{3} b c

$10a^3× 12bc=120a^3bc$

となるため、120。

a^{3} (2 b + 3 c)^{2}

$a^3(2b+3c)^2$ の展開式の中に

a^{3} b c

$a^3bc$ の項があるので、二項定理を使って求めた係数すべてを掛け合わせることで、最終的に求めたい係数を導くことができます。
展開する前にもともとついていた係数も掛けることを忘れないよう注意してください。