2次関数のグラフを描く

「関数$y=x^2+2x$のグラフをかけ。」

[03 拓殖大]

　このような問題をどのように解けばよいでしょうか？

　まず、最も次数の大きい$x^2$の係数は$1$、正の数なので下に凸の放物線であることがわかります。

　次に、$y=0$のときのxの値と$x=0$のときの$y$の値を求めます。$y=0$というのはx軸のことなので、$x$の値は関数とx軸との交点のx座標となります。また、$x=0$はy軸のことで、$y$の値は関数とy軸との交点のy座標になります。

$y=0$を代入した$x^2+2x=0$を因数分解して解きます。

$$\begin{align*}x^2+2x=x(x+2)&=0\\[0.5em]x&=0,2\end{align*}$$

したがって、問の関数は$(-2, 0), (0, 0)$を通ります。

$x=0$を代入すると$y=0$となり、上記の$(0,0)$を通ることがわかります。

　最後に、問の関数を平方完成します。

$$\begin{align*}y&=x^2+2x\\[0.5em]&=(x^2+2x+1)-1\\[0.5em]&=(x+1)^2-1\end{align*}$$

平方完成した式より、軸は$x=-1$、頂点は$(-1,-1)$であるとわかります。

　以上からわかったことを元にグラフを描きます。

図1　$y=x^2+2x$のグラフ

$y=x^2+2x$のグラフは、$(-2,0),(-1,-1),(0,0)$の3つの点を打ち、3点を通り$x=-1$で線対称になるように放物線を描きます。

　$y=0$のときの$x$の値を求める時因数分解できるかどうかわからない場合は、判別式を使って解がいくつあるかを調べます。

$$\begin{align*}ax^2+&bx+c=0のとき\\ D&=b^2-4ac\end{align*}$$

• $D>0$のとき、図1のようにx軸に2点で交わっています。
• $D=0$のとき、x軸と頂点が接しています。
• $D<0$のとき、x軸とは交わりも接しもしません。

判別式が$D\geqq0$のとき、解の公式を使って$x$の値を求めます。

$$\begin{align*}ax^2+&bx+c=0のとき\\ x&=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}\end{align*}$$

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