数の大小比較（平方根の計算・二重根号）

  $$2\left(\sqrt{6+2\sqrt{5}}-\sqrt{5}\right)\qquad\fbox{　？　}\qquad 2$$

「上の$\fbox{　？　}$に当てはまるものを以下の選択肢から選べ。

ア. >        イ. =        ウ. <

」

　この問題を解くには、左の二重根号がどうなるのかがポイントになります。

　二重根号には

$$\begin{align}\sqrt{(a+b)+2\sqrt{ab}}&=\sqrt{a}+\sqrt{b}\\[1em] \sqrt{(a+b)-2\sqrt{ab}}&=\sqrt{a}-\sqrt{b}\end{align}$$

のように変形できるものがあります。（ただし、$(1)$は$a>0,b>0$、$(2)$は$a>b>0$）

これは因数分解公式の

$$\begin{align}m^2+n^2+2mn&=(m+n)^2\\[1em] m^2+n^2-2mn&=(m-n)^2\end{align}$$

を利用しています。

　$(1),(2)$それぞれの左辺から右辺が導かれることを確かめます。

$(1)$の左辺は

$$\sqrt{(a+b)+2\sqrt{ab}}=\sqrt{\left\{\bigl(\sqrt{a}\bigr)^2+\bigl(\sqrt{b}\bigr)^2\right\}+2\sqrt{a}\sqrt{b}}$$

と変形できます。

$m=\sqrt{a},n=\sqrt{b}$とすれば$(3)$より

$$\begin{align*}\sqrt{\left\{\bigl(\sqrt{a}\bigr)^2+\bigl(\sqrt{b}\bigr)^2\right\}+2\sqrt{a}\sqrt{b}}&=\sqrt{(\sqrt{a}+\sqrt{b})^2}\\[0.5em] &=\left|\sqrt{a}+\sqrt{b}\right|\\[0.5em]&=\sqrt{a}+\sqrt{b}\end{align*}$$

となるので、$(1)$が成り立つことがわかります。

関連：平方根とは？ 平方根の計算法則

　$(2)$の左辺も同様にして、

$$\sqrt{(a+b)-2\sqrt{ab}}=\sqrt{\left\{\bigl(\sqrt{a}\bigr)^2+\bigl(\sqrt{b}\bigr)^2\right\}-2\sqrt{a}\sqrt{b}}$$

と変形できるので、$m=\sqrt{a},n=\sqrt{b}$とすれば$(4)$より

$$\begin{align*}\sqrt{\left\{\bigl(\sqrt{a}\bigr)^2+\bigl(\sqrt{b}\bigr)^2\right\}-2\sqrt{a}\sqrt{b}}&=\sqrt{(\sqrt{a}-\sqrt{b})^2}\\[0.5em] &=\left|\sqrt{a}-\sqrt{b}\right|\end{align*}$$

となります。

$(2)$の成立条件の$a>b>0$のとき$\sqrt{a}>\sqrt{b}$、すなわち$\sqrt{a}-\sqrt{b}>0$なので

$$\left|\sqrt{a}-\sqrt{b}\right|=\sqrt{a}-\sqrt{b}$$

となり、$(2)$が成り立つことがわかります。

$a$と$b$の大小関係が逆で$b>a>0$のとき$\sqrt{a}<\sqrt{b}$、すなわち$\sqrt{a}-\sqrt{b}<0$なので

$$\left|\sqrt{a}-\sqrt{b}\right|=\sqrt{b}-\sqrt{a}$$

となります。

このように$(2)$は成立条件が重要になるので、二重根号の公式を使う際は$a$のほうに大きい数をあてるようにすると間違いを減らせます。

　問題の場合は二重根号部分が

$$\begin{align*}\sqrt{6+2\sqrt{5}}&=\sqrt{(5+1)+2\sqrt{5\times1}}\\[0.5em]&=\sqrt{(5+1)+2\sqrt{5}\sqrt{1}}\end{align*}$$

のように変形できるため、$(1)$を利用して

$$\begin{align*}\sqrt{6+2\sqrt{5}}&=\sqrt{5}+\sqrt{1}\\[0.5em]&=\sqrt{5}+1\end{align*}$$

とすることができます。

したがって、問題の左の数は

$$\begin{align*}2(\sqrt{6+2\sqrt{5}}-\sqrt{5})&=2\left\{(\sqrt{5}+1)-\sqrt{5}\right\}\\[0.5em] &=2\times1\\[0.5em]&=\underline{2}\end{align*}$$

となるため、「イ. =」が正解となります。

(2023/9)加筆修正を行いました