順列はなぜ階乗の分数になるのか？

　順列の式は以下のようになります。

$$\begin{align*}_nP_k&=\frac{n!}{(n-k)!}\tag1\\ &\qquad(n:自然数,k:0\leqq k\leqq nの整数)\end{align*}$$

なぜ、順列は階乗の分数で表せるのでしょうか？

　例題として「問1. $1,2,3,4,5$の5つの数字をそれぞれ一回ずつ使って5桁の整数をつくる。できる整数は何通りあるか。」を考えます。

図1　簡略化した樹形図と階乗

　1桁目は$1,2,3,4,5$の5通り、2桁目は1桁目で選んだ数字以外の4通り、3桁目はそれから残った数字の3通り……とおこなう流れで数字を選んでいくので、できる整数は$5!$（5の階乗）、すなわち$120$通りとなります。

　では、「問2. $1,2,3,4,5$の5つの数字の中から異なる数字を2つ使ってできる2桁の整数は何通りあるか。」といった問題の場合はどうでしょう？
さきほどと同じ考え方をすれば、1桁目は5通り、2桁目は4通りなので20通りとなります。

ですが、問1.の$5!$を利用した考え方もできます。

図2　3桁目以降がなくなった樹形図と順列

2桁目までは同じですが、3桁目以降の分岐がなくなっています。
3桁目からは、3通り×2通り×1通りなので、$3!$=6通りとなります。

$5!$通りから2桁目までの試行（$5×4$）を抜き出すには、$3!$で割れば良いので

$$\frac{5!}{3!}$$

となり、この「5個の中から2つ選んだ場合の順列の総数」を$_5P_2$と書くので

$$_5P_2=\frac{5!}{3!}$$

が成り立ちます。

したがって、「n個の中から$k$個選んだ場合の順列の総数」という問題であれば、同様に考えて

$${_n P_k}=\frac{n!}{(n-k)!}$$

となるので、$(1)$が出てきます。

問1.の場合は「5個の中から5個選んだ場合の順列の総数」と考えることができるので、

$$_5P_5=\frac{5!}{0!}=\frac{5!}{1}=5!$$

となり、この場合も$(1)$が成り立つことがわかります。

「5個の中から1つも選ばない場合の順列の総数」は何も並んでいない状態の1通りであり、

$$_5P_0=\frac{5!}{5!}=1$$

となることから、やはりこの場合も$(1)$が成り立つことがわかります。