平方完成するには ~ 数学について考えてみる

2022年2月14日

平方完成するには

PLUMBAGO

　平方完成とは、2次式 $ax^2+bx+c$ を $a(x+p)^2+q$ という2乗の項と定数項の和の形に変形することをいいます。

平方完成の手順は

$x^2+2px$ 部分を見つけて $p$ を求める
$p^2$ を付け足して取り除く
$(x+p)^2$ をつくる

の3工程です。

2次式

2 x^{2} - 5 x + 2

$2x^2-5x+2$ を例として平方完成をしてみます。

1. $x^2+2px$ 部分を見つけて $p$ を求める

x^{2} + 2 p x

$x^2+2px$ は、

(x + p)^{2}

$(x+p)^2$ を展開した

x^{2} + 2 p x + p^{2}

$x^2+2px+p^2$ の定数項

p^{2}

$p^2$ を除いた部分となります。
これは

x^{2}

$x^2$ の項と

x

$x$ の項の和なので、例の2次式においては

2 x^{2} - 5 x

$2x^2-5x$ 部分のこととなります。

x^{2}

$x^2$ の項の係数を

1

$1$ にしたいので、該当部分を括弧でくくって

x^{2}

$x^2$ の項の係数をくくり出します。

\begin{aligned} 2 x^{2} - 5 x + 2 & = (2 x^{2} - 5 x) + 2 \\ = 2 (x^{2} - \frac{5}{2} x) + 2 \end{aligned}

$\begin{align*}2x^2-5x+2&=(2x^2-5x)+2\\[0.5em]&=2\left(x^2-\frac{5}{2}x\right)+2\end{align*}$

括弧内の

x^{2} - \frac{5}{2} x

$x^2-\dfrac{5}{2}x$ と

x^{2} + 2 p x

$x^2+2px$ を比較すると

2 p = - \frac{5}{2}

$2p=-\dfrac{5}{2}$ であることがわかるので、

p = - \frac{5}{4}

$p=-\dfrac{5}{4}$ と求められます。

p

$p$ の値は

x^{2}

$x^2$ の項の係数をくくり出した後の

x

$x$ の項の

\frac{1}{2}

$\dfrac{1}{2}$ 倍となります。

2. $p^2$ 部分を付け足して取り除く

　括弧で括った

x^{2} + 2 p x

$x^2+2px$ 部分に

p^{2}

$p^2$ 部分を付け加え、同時に

p^{2}

$p^2$ 部分を引いて取り除きます。

\begin{aligned} 2 (x^{2} - \frac{5}{2} x) + 2 & = 2 [{x^{2} - \frac{5}{2} x + {(- \frac{5}{4})}^{2}} - {(- \frac{5}{4})}^{2}] + 2 \end{aligned}

$\begin{align*}2\mathbf{\left(x^2-\frac{5}{2}x\right)}+2&=2\mathbf{\left[\left\{x^2-\frac{5}{2}x\textcolor{red}{+\left(-\frac{5}{4}\right)^2}\right\}\textcolor{blue}{-\left(-\frac{5}{4}\right)^2}\right]}+2\end{align*}$

赤く示した部分が

p^{2}

$p^2$ を付け加えている部分、青く示した部分が

p^{2}

$p^2$ を取り除いている部分です。これらは互いに打ち消し合うので、この変形前と式のもつ性質は変化していません。

3.へ進む前に

x^{2} + 2 p x + p^{2}

$x^2+2px+p^2$ 部分を残したまま整理しておきます。

\begin{aligned} 2 [{x^{2} - \frac{5}{2} x + {(- \frac{5}{4})}^{2}} - {(- \frac{5}{4})}^{2}] + 2 \\ = & 2 {x^{2} - \frac{5}{2} x + {(- \frac{5}{4})}^{2}} - 2 {(- \frac{5}{4})}^{2} + 2 \\ = & 2 {x^{2} - \frac{5}{2} x + {(- \frac{5}{4})}^{2}} - \frac{25}{8} + 2 \\ = & 2 {x^{2} - \frac{5}{2} x + {(- \frac{5}{4})}^{2}} - \frac{9}{8} \end{aligned}

$\begin{align*}&2\left[\left\{x^2-\frac{5}{2}x+\left(-\frac{5}{4}\right)^2\right\}-\left(-\frac{5}{4}\right)^2\right]+2\\[0.5em]=&2\left\{x^2-\frac{5}{2}x+\left(-\frac{5}{4}\right)^2\right\}-2\left(-\frac{5}{4}\right)^2+2\\[0.5em]=&2\left\{x^2-\frac{5}{2}x+\left(-\frac{5}{4}\right)^2\right\}-\frac{25}{8}+2\\[0.5em]=&2\left\{x^2-\frac{5}{2}x+\left(-\frac{5}{4}\right)^2\right\}-\frac{9}{8}\end{align*}$

3. $(x+p)^2$ をつくる

x^{2} + 2 p x + p^{2}

$x^2+2px+p^2$ 部分は

(x + p)^{2}

$(x+p)^2$ の形に因数分解できます。

2 {x^{2} - \frac{5}{2} x + {(- \frac{5}{4})}^{2}} - \frac{9}{8} = 2 {(x - \frac{5}{4})}^{2} - \frac{9}{8}

$2\left\{x^2-\frac{5}{2}x+\left(-\frac{5}{4}\right)^2\right\}-\frac{9}{8}=2\left(x-\frac{5}{4}\right)^2-\frac{9}{8}$

これが

2 x^{2} - 5 x + 2

$2x^2-5x+2$ を平方完成した形となります。

　任意の2次式

a x^{2} + b x + c

$ax^2+bx+c$ （

a, b, c :

$a,b,c:$ 定数、

a \neq 0

$a\neq0$ ）を同様の手順で平方完成すると以下のようになります。

\begin{aligned} a x^{2} + b x + c & = a (x^{2} + \frac{b}{a} x) + c \\ = a [{x^{2} + \frac{b}{a} x + {(\frac{b}{2 a})}^{2}} - {(\frac{b}{2 a})}^{2}] + c \\ = a {x^{2} + \frac{b}{a} x + {(\frac{b}{2 a})}^{2}} - a {(\frac{b}{2 a})}^{2} + c \\ = a {x^{2} + \frac{b}{a} x + {(\frac{b}{2 a})}^{2}} - \frac{b^{2}}{4 a} + c \\ = a {x^{2} + \frac{b}{a} x + {(\frac{b}{2 a})}^{2}} - \frac{b^{2} - 4 a c}{4 a} \\ = a {(x + \frac{b}{2 a})}^{2} - \frac{b^{2} - 4 a c}{4 a} \end{aligned}

$\begin{align*}ax^2+bx+c&=a\left(x^2+\frac{b}{a}x\right)+c\\[0.5em]&=a\left[\left\{x^2+\frac{b}{a}x+\left(\frac{b}{2a}\right)^2\right\}-\left(\frac{b}{2a}\right)^2\right]+c\\[0.5em]&=a\left\{x^2+\frac{b}{a}x+\left(\frac{b}{2a}\right)^2\right\}-a\left(\frac{b}{2a}\right)^2+c\\[0.5em]&=a\left\{x^2+\frac{b}{a}x+\left(\frac{b}{2a}\right)^2\right\}-\frac{b^2}{4a}+c\\[0.5em]&=a\left\{x^2+\frac{b}{a}x+\left(\frac{b}{2a}\right)^2\right\}-\frac{b^2-4ac}{4a}\\[0.5em]&=a\left(x+\frac{b}{2a}\right)^2-\frac{b^2-4ac}{4a}\end{align*}$

これが平方完成の公式となります。

(2024/6)内容を修正しました。