2次関数と1次関数の接する条件

「$y=kx^2+4x+1$と$y=2x+\dfrac{3}{4}$が接点を持つときの$k$の値を求めよ。また、接点の座標と求めよ。」

このような問題はどのように解けばよいでしょうか？

　この問題を解くには、2つの関数を連立して解きます。

$$\left\{\begin{aligned}y&=kx^2+4x+1&...(1)\\ y&=2x+\frac{3}{4}&...(2)\end{aligned}\right.$$

(1)の$y$に(2)を代入して

$$\begin{align*}kx^2+4x+1&=2x+\frac{3}{4}\\ \\ kx^2+2x+\frac{1}{4}&=0&...(3)\end{align*}$$

ここで判別式をもちいて

$$\begin{align*}D&=2^2-4・k・\frac{1}{4}\\ \\ &=4-k\end{align*}$$

問の2関数が接するということは$D=0$であるので

$$\begin{align*}4-k&=0\\ k&=4\end{align*}$$

(3)に$k=4$を代入して解くと

$$\begin{align*}4x^2+2x+\frac{1}{4}&=0\\ \\ 16x^2+8x+1&=0\\ \\ (4x+1)^2&=0\\ x&=-\frac{1}{4}\end{align*}$$

(2)に$x=-\dfrac{1}{4}$を代入して

$$\begin{align*}y&=2・\left(-\frac{1}{4}\right)+\frac{3}{4}\\ \\ &=-\frac{2}{4}+\frac{3}{4}\\ \\ &=\frac{1}{4}\end{align*}$$

したがって、接点の座標は$\left(-\dfrac{1}{4},\frac{1}{4}\right)$ 

以上より問の答えは$k=4,\left(-\dfrac{1}{4},\frac{1}{4}\right)$です。

　なぜこのような解き方をするのでしょうか？

　まず連立方程式にした理由は連立方程式を解くとは複数の方程式を満たす共通した数の組み合わせを探すということだからです。

これを関数のグラフで置き換えると複数の関数のグラフで共通する座標、すなわち交点や接点を求めることに相当します。

　次に判別式をもちいる理由は「接点を持つ」という条件が2次関数と深く関わるためです。
最高次数が2次以下の2関数が接点をもつとき、少なくとも1つは2次関数でないとありえません。

2関数がどちらも1次関数である場合、グラフは直線であるため「共有点を持たない」、「1点で交わる」、「ピッタリ重なる」の3通りあります。「1点で交わる」とき連立方程式を解く過程で1次方程式ができます。

共有点を持たないときは連立方程式が解を持たないとき、ピッタリ重なるときは無数の解を持つときです。

また、2関数が2次関数と1次関数の場合「共有点を持たない」、「ただ1点で接する」、「2点で交わる」の3通りになります。「ただ1点で接する」ときは連立方程式を解く過程で重解を持つ2次方程式ができます。

したがって、「重解を持つことを示すためには判別式をもちいて$D=0$となる条件を調べることが必要になります。

共有点を持たないときは$D<0$、2点で交わるときは$D>0$、共有点を持つときは$D\geqq0$となる条件を調べます。

どちらも1次関数である場合の「1点で交わる」と2関数がそれぞれ2次関数と1次関数である場合の「ただ1点で接する」はどちらも1つの共有点を持つことを意味しますが、「交わる」と「接する」は同じ意味ではないので注意してください。