√2^√2^√2^√2^…はどんな値をもつか？

$$\sqrt{2}^{\sqrt{2}^{\sqrt{2}^{\sqrt{2}^\cdots}}}$$

　上の数はどんな値をもつでしょうか？

この数は無限に$\sqrt{2}$の$\sqrt{2}$乗を繰り返しています。

括弧を使うとこの数の構造がわかりやすくなるでしょうか？

$$\sqrt{2}^{\left(\sqrt{2}^{\left(\sqrt{2}^{\left(\sqrt{2}^{(\cdots)}\right)}\right)}\right)}$$

この数はテトレーションと極限をもちいれば$\lim_{x\to\infty}{^x(\sqrt{2})}$と書けます。

この数を$x$とおくと$\sqrt{2}$の指数部分も$x$とおけるので

$$\sqrt{2}^x=x\tag{*}$$

と書けます。

$\sqrt{2}=2^\frac{1}{2}$なので

$$\begin{align*}\left(2^\frac{1}{2}\right)^x&=x\\[0.5em]2^{\frac{x}{2}}&=x\end{align*}$$

$x=2^{\log_2{x}}$なので

$$2^{\frac{x}{2}}=2^{\log_2{x}}$$

両辺の対数をとって

$$\frac{x}{2}=\log_2{x}$$

これを満たすのは$x=2,4$です。どちらも適する値なのでしょうか？

　そこで、$1<\sqrt{2}<2$であることに着目します。
$1<\sqrt{2}<2$なので指数関数の大小関係より

$$\sqrt{2}=\sqrt{2}^\textcolor{red}{1}<\sqrt{2}^\textcolor{red}{\sqrt{2}}<\sqrt{2}^\textcolor{red}{2}=2$$

$\sqrt{2}<\sqrt{2}^\sqrt{2}<2$なので

$$\sqrt{2}^\textcolor{red}{\sqrt{2}}<\sqrt{2}^\textcolor{red}{\sqrt{2}^\sqrt{2}}<\sqrt{2}^\textcolor{red}{2}=2$$

$\sqrt{2}^\sqrt{2}<\sqrt{2}^{\sqrt{2}^\sqrt{2}}<2$なので

$$\sqrt{2}^\textcolor{red}{\sqrt{2}^\sqrt{2}}<\sqrt{2}^\textcolor{red}{\sqrt{2}^{\sqrt{2}^\sqrt{2}}}<\sqrt{2}^\textcolor{red}{2}=2$$

このように$\sqrt{2}$を追加していくと$2$に限りなく近づいていきますが、$2$より小さいままです。

したがって、この作業を無限に繰り返すと$2$に収束するということなので$x$に適する値は$2$です。
すなわち、

$$\sqrt{2}^{\sqrt{2}^{\sqrt{2}^{\sqrt{2}^\cdots}}}=2$$

であるということがわかります。

ちなみに、$(*)$は両辺を2乗すると

$$\begin{align*}\left(\sqrt{2}^x\right)^2&=x^2\\[0.5em]\sqrt{2}^{2x}&=x^2\\[0.5em]\left(\sqrt{2}^2\right)^x&=x^2\\[0.5em]2^x&=x^2\end{align*}$$

となります。

この方程式の解は$(*)$と共通の解をもちます。

方程式$2^x=x^2$のもつ他の解は以下の記事にて求めています。

関連：$y=x^2$と$y=2^x$の3つ目の共有点をニュートン法で探してみる

外部リンク：テトレーション - Wikipedia