\[\sqrt{2}^{\sqrt{2}^{\sqrt{2}^{\sqrt{2}^\cdots}}}\]
上の数はどんな値をもつでしょうか？
この数は無限に$\sqrt{2}$の$\sqrt{2}$乗を繰り返しています。
括弧を使うとこの数の構造がわかりやすくなるでしょうか？
\[\sqrt{2}^{\left(\sqrt{2}^{\left(\sqrt{2}^{\left(\sqrt{2}^{(\cdots)}\right)}\right)}\right)}\]
この数はテトレーションと極限をもちいれば$\lim_{x\to\infty}{^x(\sqrt{2})}$と書けます。
この数を$x$とおくと$\sqrt{2}$の指数部分も$x$とおけるので
\[\sqrt{2}^x=x\tag{*}\]
と書けます。
$\sqrt{2}=2^\frac{1}{2}$なので
\begin{align*}\left(2^\frac{1}{2}\right)^x&=x\\[0.5em]2^{\frac{x}{2}}&=x\end{align*}
$x=2^{\log_2{x}}$なので
\[2^{\frac{x}{2}}=2^{\log_2{x}}\]
両辺の対数をとって
\[\frac{x}{2}=\log_2{x}\]
これを満たすのは$x=2,4$です。どちらも適する値なのでしょうか？
そこで、$1<\sqrt{2}<2$であることに着目します。
$1<\sqrt{2}<2$なので指数関数の大小関係より
$1<\sqrt{2}<2$なので指数関数の大小関係より
\[\sqrt{2}=\sqrt{2}^\textcolor{red}{1}<\sqrt{2}^\textcolor{red}{\sqrt{2}}<\sqrt{2}^\textcolor{red}{2}=2\]
$\sqrt{2}<\sqrt{2}^\sqrt{2}<2$なので
\[\sqrt{2}^\textcolor{red}{\sqrt{2}}<\sqrt{2}^\textcolor{red}{\sqrt{2}^\sqrt{2}}<\sqrt{2}^\textcolor{red}{2}=2\]
$\sqrt{2}^\sqrt{2}<\sqrt{2}^{\sqrt{2}^\sqrt{2}}<2$なので
\[\sqrt{2}^\textcolor{red}{\sqrt{2}^\sqrt{2}}<\sqrt{2}^\textcolor{red}{\sqrt{2}^{\sqrt{2}^\sqrt{2}}}<\sqrt{2}^\textcolor{red}{2}=2\]
このように$\sqrt{2}$を追加していくと$2$に限りなく近づいていきますが、$2$より小さいままです。
したがって、この作業を無限に繰り返すと$2$に収束するということなので$x$に適する値は$2$です。
すなわち、
すなわち、
\[\sqrt{2}^{\sqrt{2}^{\sqrt{2}^{\sqrt{2}^\cdots}}}=2\]
であるということがわかります。
ちなみに、$(*)$は両辺を2乗すると
\begin{align*}\left(\sqrt{2}^x\right)^2&=x^2\\[0.5em]\sqrt{2}^{2x}&=x^2\\[0.5em]\left(\sqrt{2}^2\right)^x&=x^2\\[0.5em]2^x&=x^2\end{align*}
となります。
この方程式の解は$(*)$と共通の解をもちます。
外部リンク：テトレーション - Wikipedia
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