AB//CDである台形
ABCDの4辺の長さがそれぞれ
AB=a,BC=b,CD=c,DA=d(ただし、
a>c)のとき、台形
ABCDの面積
Sは
S=a+c4(a−c)√(−a+b+c+d)(a−b−c+d)⋅(a+b−c+d)(a+b−c−d)
で求めることができます。(長いので根号内で改行しています。)
なぜこれで台形ABCDの面積が求められるのでしょうか?
この台形
ABCDの面積
Sは高さを
hとおくと
S=(a+c)h2(1)
で求めることができますが、わかっているのは台形の4辺の長さのみで高さ
hはわかっていません。
そこで、高さ
hを求める方法を考えます。
頂点
Dを通る辺
BCに平行な直線を引き、辺
ABとの交点を
Eとします。
すると、三角形
AEDと平行四辺形
EBCDができます。
平行四辺形の対辺の長さは等しいので、EB=CD=c,
DE=BC=bとなります。
このことから、三角形AEDの辺AEの長さはAE=AB−EB=a−cとなります。
したがって、三角形
AEDは辺
AEを底辺とみたとき、高さは台形
ABCDと同様
hとなるので、三角形
AEDの面積
Tは
T=(a−c)h2
と書けることがわかります。
これを
hについて解くと
h=2Ta−c(2)
となります。
三角形
AEDの面積
Tはヘロンの公式をもちいることで求めることができます。
3辺の長さが
x,y,zの三角形の面積は
√(x+y+z)(−x+y+z)(x−y+z)(x+y−z)4
となります。
すると、三角形
AEDの3辺の長さは
AE=a−c,ED=b,DA=dなので
T=√{(a−c)+b+d}{−(a−c)+b+d}{(a−c)−b+d}{(a−c)+b−d}4=√(a+b−c+d)(−a+b+c+d)(a−b−c+d)(a+b−c−d)4=√(−a+b+c+d)(a−b−c+d)(a+b−c+d)(a+b−c−d)4(∵交換法則)
となり、これを
(2)に代入すると
h=2√(−a+b+c+d)(a−b−c+d)(a+b−c+d)(a+b−c−d)4a−c=√(−a+b+c+d)(a−b−c+d)(a+b−c+d)(a+b−c−d)2(a−c)(3)
となります。これで
hを
a,b,c,dで表すことができました。
(3)を
(1)に代入すると
S=(a+c)√(−a+b+c+d)(a−b−c+d)(a+b−c+d)(a+b−c−d)2(a−c)2=a+c4(a−c)√(−a+b+c+d)(a−b−c+d)(a+b−c+d)(a+b−c−d)
となり、台形
ABCDの4辺の長さから面積を求める公式が導かれます。
この公式は平行な対辺の長さが異なる(
a≠cである)ことが条件となっているため、台形の一種である平行四辺形に対してはもちいることができない点には注意してください。
また、台形
ABCDが等脚台形のとき
BC=DA、すなわち
b=dとなるので、このときの台形
ABCDの面積
Sは
S=a+c4(a−c)√(−a+b+c+b)(a−b−c+b)(a+b−c+b)(a+b−c−b)=a+c4(a−c)√(−a+2b+c)(a−c)(a+2b−c)(a−c)=a+c4(a−c)√(−a+2b+c)(a+2b−c)(a−c)2=a+c4(a−c)⋅(a−c)√(−a+2b+c)(a+2b−c)=a+c4√(−a+2b+c)(a+2b−c)
となります。
さらに、
AB=CD、すなわち
a=cであるとき、等脚台形
ABCDは長方形であり、その面積
Sは
S=2a4√2b⋅2b=a2⋅2b=ab
となります。これは長方形の面積の公式と一致します。
外部リンク:台形 - Wikipedia
外部リンク:等脚台形 - Wikipedia