\[\large
S=\frac{a+c}{4(a-c)}\sqrt{(-a+b+c+d)(a-b-c+d)(a+b-c+d)(a+b-c-d)}\]
で求めることができます。
なぜこれで台形$ABCD$の面積が求められるのでしょうか？
.png)
\begin{equation}S=\frac{(a+c)h}{2}\end{equation}
で求めることができますが、わかっているのは台形の4辺の長さのみで高さ$h$はわかっていません。
そこで、高さ$h$を求める方法を考えます。
.png)
すると、三角形$AED$と平行四辺形$EBCD$ができます。
平行四辺形の対辺の長さは等しいので、$EB=CD=c,$$DE=BC=b$となります。
このことから、三角形$AED$の辺$AE$の長さは$AE=AB-EB=a-c$となります。
このことから、三角形$AED$の辺$AE$の長さは$AE=AB-EB=a-c$となります。
したがって、三角形$AED$は辺$AE$を底辺とみたとき、高さは台形$ABCD$と同様$h$となるので、三角形$AED$の面積$T$は
\[T=\frac{(a-c)h}{2}\]
と書けることがわかります。
これを$h$について解くと
\begin{equation}h=\frac{2T}{a-c}\end{equation}
となります。
三角形$AED$の面積$T$はヘロンの公式をもちいることで求めることができます。
3辺の長さが$x,y,z$の三角形の面積は
3辺の長さが$x,y,z$の三角形の面積は
\[\frac{\sqrt{(x+y+z)(-x+y+z)(x-y+z)(x+y-z)}}{4}\]
となります。
すると、三角形$AED$の3辺の長さは$AE=a-c,ED=b,DA=d$なので
\begin{align*}T&=\frac{\sqrt{\bigl\{(a-c)+b+d\bigr\}\bigl\{-(a-c)+b+d\bigr\}\bigl\{(a-c)-b+d\bigr\}\bigl\{(a-c)+b-d\bigr\}}}{4}\\[0.5em]&=\frac{\sqrt{(a+b-c+d)(-a+b+c+d)(a-b-c+d)(a+b-c-d)}}{4}\\[0.5em]&=\frac{\sqrt{(-a+b+c+d)(a-b-c+d)(a+b-c+d)(a+b-c-d)}}{4}&(\because\text{交換法則})\end{align*}
となり、これを$(2)$に代入すると
\begin{align*}h&=\frac{2\cfrac{\sqrt{(-a+b+c+d)(a-b-c+d)(a+b-c+d)(a+b-c-d)}}{4}}{a-c}\\[0.5em]&=\frac{\sqrt{(-a+b+c+d)(a-b-c+d)(a+b-c+d)(a+b-c-d)}}{2(a-c)}\tag3\end{align*}
となります。これで$h$を$a,b,c,d$で表すことができました。
$(3)$を$(1)$に代入すると
\begin{align*}S&=\frac{(a+c)\cfrac{\sqrt{(-a+b+c+d)(a-b-c+d)(a+b-c+d)(a+b-c-d)}}{2(a-c)}}{2}\\[0.5em]&=\frac{a+c}{4(a-c)}\sqrt{(-a+b+c+d)(a-b-c+d)(a+b-c+d)(a+b-c-d)}\end{align*}
となり、台形$ABCD$の4辺の長さから面積を求める公式が導かれます。
また、台形$ABCD$が等脚台形のとき$BC=DA$、すなわち$b=d$となるので、このときの台形$ABCD$の面積$S$は
\begin{align*}S&=\frac{a+c}{4(a-c)}\sqrt{(-a+b+c+b)(a-b-c+b)(a+b-c+b)(a+b-c-b)}\\[0.5em]&=\frac{a+c}{4(a-c)}\sqrt{(-a+2b+c)(a-c)(a+2b-c)(a-c)}\\[0.5em]&=\frac{a+c}{4(a-c)}\sqrt{(-a+2b+c)(a+2b-c)(a-c)^2}\\[0.5em]&=\frac{a+c}{4(a-c)}\cdot(a-c)\sqrt{(-a+2b+c)(a+2b-c)}\\[0.5em]&=\frac{a+c}{4}\sqrt{(-a+2b+c)(a+2b-c)}\end{align*}
となります。
外部リンク：台形 - Wikipedia
外部リンク：等脚台形 - Wikipedia
Share:
