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2024年9月14日

台形の4辺の長さから面積を求める公式

AB//CD、a>cである台形ABCD
 AB//CDAB//CDである台形ABCDABCDの4辺の長さがそれぞれAB=a,BC=b,CD=c,DA=dAB=a,BC=b,CD=c,DA=d(ただし、a>ca>c)のとき、台形ABCDABCDの面積SS
S=a+c4(ac)(a+b+c+d)(abc+d)(a+bc+d)(a+bcd)S=a+c4(ac)(a+b+c+d)(abc+d)(a+bc+d)(a+bcd)
で求めることができます。(長いので根号内で改行しています。)

なぜこれで台形ABCDABCDの面積が求められるのでしょうか?


高さがわかっているときの台形の面積
 この台形ABCDABCDの面積SSは高さをhhとおくと
S=(a+c)h2S=(a+c)h2(1)
で求めることができますが、わかっているのは台形の4辺の長さのみで高さhhはわかっていません。
そこで、高さhhを求める方法を考えます。
台形を平行四辺形と三角形に分割する
 頂点DDを通る辺BCBCに平行な直線を引き、辺ABABとの交点をEEとします。
すると、三角形AEDAEDと平行四辺形EBCDEBCDができます。
平行四辺形の対辺の長さは等しいので、EB=CD=c,EB=CD=c, DE=BC=bDE=BC=bとなります。
このことから、三角形AEDAEDの辺AEAEの長さはAE=ABEB=acAE=ABEB=acとなります。
したがって、三角形AEDAEDは辺AEAEを底辺とみたとき、高さは台形ABCDABCDと同様hhとなるので、三角形AEDAEDの面積TT
T=(ac)h2T=(ac)h2
と書けることがわかります。
これをhhについて解くと
h=2Tach=2Tac(2)
となります。
三角形AEDAEDの面積TTはヘロンの公式をもちいることで求めることができます。
3辺の長さがx,y,zx,y,zの三角形の面積は
(x+y+z)(x+y+z)(xy+z)(x+yz)4(x+y+z)(x+y+z)(xy+z)(x+yz)4
となります。
すると、三角形AEDAEDの3辺の長さはAE=ac,ED=b,DA=dAE=ac,ED=b,DA=dなので
T={(ac)+b+d}{(ac)+b+d}{(ac)b+d}{(ac)+bd}4=(a+bc+d)(a+b+c+d)(abc+d)(a+bcd)4=(a+b+c+d)(abc+d)(a+bc+d)(a+bcd)4(交換法則)T={(ac)+b+d}{(ac)+b+d}{(ac)b+d}{(ac)+bd}4=(a+bc+d)(a+b+c+d)(abc+d)(a+bcd)4=(a+b+c+d)(abc+d)(a+bc+d)(a+bcd)4()
となり、これを(2)(2)に代入すると
h=2(a+b+c+d)(abc+d)(a+bc+d)(a+bcd)4ac=(a+b+c+d)(abc+d)(a+bc+d)(a+bcd)2(ac)h=2(a+b+c+d)(abc+d)(a+bc+d)(a+bcd)4ac=(a+b+c+d)(abc+d)(a+bc+d)(a+bcd)2(ac)(3)
となります。これでhha,b,c,da,b,c,dで表すことができました。
(3)(3)(1)(1)に代入すると
S=(a+c)(a+b+c+d)(abc+d)(a+bc+d)(a+bcd)2(ac)2=a+c4(ac)(a+b+c+d)(abc+d)(a+bc+d)(a+bcd)S=(a+c)(a+b+c+d)(abc+d)(a+bc+d)(a+bcd)2(ac)2=a+c4(ac)(a+b+c+d)(abc+d)(a+bc+d)(a+bcd)
となり、台形ABCDABCDの4辺の長さから面積を求める公式が導かれます。
この公式は平行な対辺の長さが異なる(acacである)ことが条件となっているため、台形の一種である平行四辺形に対してはもちいることができない点には注意してください。

 また、台形ABCDABCDが等脚台形のときBC=DABC=DA、すなわちb=db=dとなるので、このときの台形ABCDABCDの面積SS
S=a+c4(ac)(a+b+c+b)(abc+b)(a+bc+b)(a+bcb)=a+c4(ac)(a+2b+c)(ac)(a+2bc)(ac)=a+c4(ac)(a+2b+c)(a+2bc)(ac)2=a+c4(ac)(ac)(a+2b+c)(a+2bc)=a+c4(a+2b+c)(a+2bc)S=a+c4(ac)(a+b+c+b)(abc+b)(a+bc+b)(a+bcb)=a+c4(ac)(a+2b+c)(ac)(a+2bc)(ac)=a+c4(ac)(a+2b+c)(a+2bc)(ac)2=a+c4(ac)(ac)(a+2b+c)(a+2bc)=a+c4(a+2b+c)(a+2bc)
となります。
さらに、AB=CD、すなわちa=cであるとき、等脚台形ABCDは長方形であり、その面積S
S=2a42b2b=a22b=ab
となります。これは長方形の面積の公式と一致します。

外部リンク:台形 - Wikipedia

外部リンク:等脚台形 - Wikipedia

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