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2024年9月14日

台形の4辺の長さから面積を求める公式

AB//CD、a>cである台形ABCD
 AB//CDAB//CDである台形ABCDの4辺の長さがそれぞれAB=a,BC=b,CD=c,DA=d(ただし、a>c)のとき、台形ABCDの面積S
S=a+c4(ac)(a+b+c+d)(abc+d)(a+bc+d)(a+bcd)
で求めることができます。(長いので根号内で改行しています。)

なぜこれで台形ABCDの面積が求められるのでしょうか?


高さがわかっているときの台形の面積
 この台形ABCDの面積Sは高さをhとおくと
S=(a+c)h2
で求めることができますが、わかっているのは台形の4辺の長さのみで高さhはわかっていません。
そこで、高さhを求める方法を考えます。
台形を平行四辺形と三角形に分割する
 頂点Dを通る辺BCに平行な直線を引き、辺ABとの交点をEとします。
すると、三角形AEDと平行四辺形EBCDができます。
平行四辺形の対辺の長さは等しいので、EB=CD=c, DE=BC=bとなります。
このことから、三角形AEDの辺AEの長さはAE=ABEB=acとなります。
したがって、三角形AEDは辺AEを底辺とみたとき、高さは台形ABCDと同様hとなるので、三角形AEDの面積T
T=(ac)h2
と書けることがわかります。
これをhについて解くと
h=2Tac
となります。
三角形AEDの面積Tはヘロンの公式をもちいることで求めることができます。
3辺の長さがx,y,zの三角形の面積は
(x+y+z)(x+y+z)(xy+z)(x+yz)4
となります。
すると、三角形AEDの3辺の長さはAE=ac,ED=b,DA=dなので
T={(ac)+b+d}{(ac)+b+d}{(ac)b+d}{(ac)+bd}4=(a+bc+d)(a+b+c+d)(abc+d)(a+bcd)4=(a+b+c+d)(abc+d)(a+bc+d)(a+bcd)4(交換法則)
となり、これを(2)に代入すると
h=2(a+b+c+d)(abc+d)(a+bc+d)(a+bcd)4ac=(a+b+c+d)(abc+d)(a+bc+d)(a+bcd)2(ac)
となります。これでha,b,c,dで表すことができました。
(3)(1)に代入すると
S=(a+c)(a+b+c+d)(abc+d)(a+bc+d)(a+bcd)2(ac)2=a+c4(ac)(a+b+c+d)(abc+d)(a+bc+d)(a+bcd)
となり、台形ABCDの4辺の長さから面積を求める公式が導かれます。
この公式は平行な対辺の長さが異なる(acである)ことが条件となっているため、台形の一種である平行四辺形に対してはもちいることができない点には注意してください。

 また、台形ABCDが等脚台形のときBC=DA、すなわちb=dとなるので、このときの台形ABCDの面積S
S=a+c4(ac)(a+b+c+b)(abc+b)(a+bc+b)(a+bcb)=a+c4(ac)(a+2b+c)(ac)(a+2bc)(ac)=a+c4(ac)(a+2b+c)(a+2bc)(ac)2=a+c4(ac)(ac)(a+2b+c)(a+2bc)=a+c4(a+2b+c)(a+2bc)
となります。
さらに、AB=CD、すなわちa=cであるとき、等脚台形ABCDは長方形であり、その面積S
S=2a42b2b=a22b=ab
となります。これは長方形の面積の公式と一致します。

外部リンク:台形 - Wikipedia

外部リンク:等脚台形 - Wikipedia

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