円に内接する台形は等脚台形？

「円$O$の弦$AB$に平行な弦$CD$を引く。
このときにできる四角形$ABCD$は等脚台形であることを示せ。」

　問題より辺$AB$と$CD$は平行なので、四角形$ABCD$は「少なくとも1組の対辺が平行な四角形」、すなわち台形であることがわかります。
台形の1つである等脚台形は「1つの底辺の両端の内角が等しい台形」のことなので、$∠ADC=∠BCD$が成り立つことを示せれば、四角形$ABCD$が等脚台形であることを示すことができます。

関連：台形とは？

　対角線$AC,BD$を引きます。
すると、$AB//CD$より錯角が等しいので

\begin{align}\angle ABD&=\angle BDC\\[1em]\angle BAC&=\angle ACD\end{align}

が成り立ちます。

2つの頂点$B,C$に着目すると、これは円$O$の周上の点でもあるので、これらによって円周から切り取られた弧$BC$があることがわかります。
円周角の定理より、弧$BC$に対する円周角は等しいので

\begin{equation}\angle BAC=\angle BDC\end{equation}

が成り立ちます。

関連：円周角の定理 なぜ成り立つのか？

$(1),(2),(3)$より

\begin{equation}\angle ACD=\angle BDC\end{equation}

であることがわかります。

同様に円周角の定理より、弧$AB$に対する円周角は等しいので

\begin{equation}\angle ACB=\angle ADB\end{equation}

が成り立ちます。

　四角形$ABCD$の内角$∠ADC,∠BCD$に着目すると

\begin{align}\angle ADC&=\angle ADB+\angle BDC\\[1em]\angle BCD&=\angle ACB+\angle ACD\end{align}

となっていることがわかります。

$(6)$より

\begin{align*}\angle ADC&=\angle ADB+\angle ACD&\bigl(\because(4)\bigr)\\[0.5em]&=\angle ACB+\angle ACD&\bigl(\because(5)\bigr)\\[0.5em]&=\angle BCD&\bigl(\because(7)\bigr)\end{align*}

したがって、四角形$ABCD$は1つの底辺の両端の内角が等しい台形なので、等脚台形であることがわかります。

このことから、円に内接する台形は等脚台形であるということができます。

関連：等脚台形とは？

関連：円周角の定理 なぜ成り立つのか？