- 1つの弧に対する中心角の大きさは、同じ弧に対する円周角の大きさの2倍である。
- 1つの弧に対する円周角の大きさは一定である。
この円周角の定理はなぜ成り立つのでしょうか？
成り立つことを確かめる方法として以下のタレスの定理の証明方法を利用します。
タレスの定理
タレスの定理とは
円周上に円の直径の端点$A,C$とそれ以外の任意の点$B$をおくと、$∠ABC=90°$（直角）となる。
という定理です。
これが成り立つことを確かめる方法は以下のようになります。
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上図のように円周上に円$O$の直径の端点$A,C$、それ以外の点$B$をおきます。
$OA,OB,OC$はそれぞれ円$O$の半径なので$△OAB,△OBC$は二等辺三角形となります。
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$OA,OB,OC$はそれぞれ円$O$の半径なので$△OAB,△OBC$は二等辺三角形となります。
$△OAB,△OBC$の底角をそれぞれ$\alpha,\beta$とすると$△ABC$の内角は
\[2\alpha+2\beta=180°\]
となります。
これの両辺を$2$で割れば
\[\alpha+\beta=90°\]
となります。
$∠ABC=α+β$なので、点$B$が$A,C$以外のどこにあっても常に$∠ABC=90°$が成り立ちます。
このときできる二等辺三角形の頂角の外角に着目して円周角の定理を確かめます。
円周角の定理
円$O$の円周上に異なる3点$A,B,C$をおき、円周角$∠ABC$について考えます。
1. 弧$AC$の長さが円周の半分より長いとき
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半径$OA,OC$と直径$BD$を引きます。このとき$OA=OB=OC$なので$△OAB,△OBC$は二等辺三角形となります。
$△OAB,△OBC$の底角をそれぞれ$α,β$、すなわち
\[∠ABC=\alpha+\beta\]
となります。この角は点$B$を含まないほうの弧$AC$に対する円周角となります。
\begin{align*}∠OAB=∠OBA&=\alpha\\[0.5em]∠OBC=∠OCB&=\beta\end{align*}
とすると、$∠ABC$は\[∠ABC=\alpha+\beta\]
となります。この角は点$B$を含まないほうの弧$AC$に対する円周角となります。
また、$△OAB,△OBC$それぞれの頂角の外角$∠AOD,∠COD$に着目すると$∠AOD=2α,∠COD=2β$となります。
したがって、同じ弧に対する中心角$∠AOC$は
このことから円周角の定理の「1つの弧に対する中心角の大きさは、同じ弧に対する円周角の大きさの2倍である。」が成り立っていることがわかります。
\begin{align*}∠AOC&=2\alpha+2\beta\\[0.5em]&=2(\alpha+\beta)\\[0.5em]\therefore∠AOC&=2∠ABC\end{align*}
となります。
このことから円周角の定理の「1つの弧に対する中心角の大きさは、同じ弧に対する円周角の大きさの2倍である。」が成り立っていることがわかります。
また、これは同一の弧$AC$上の点$A,C$を除いたどの位置に点$B$があっても常に成り立ちます。すなわち、円周角の定理の「1つの弧に対する円周角の大きさは一定である。」が成り立っているということです。
2. 弧$AC$の長さが円周の半分に等しいとき
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これは先ほどのタレスの定理の証明法の図に頂角の外角を書き込む形となります。
$BO$を延長して直径$BD$を引きます。タレスの定理で導出した通り$∠ABC=α+β=90°$であり、この角は点$B$を含まないほうの弧$AC$に対する円周角です。
1.と同様に外角の定理より$∠AOD=2α,∠COD=2β$なので、同じ弧に対する中心角$∠AOC$は
\begin{align*}∠AOC&=2(\alpha+\beta)\\[0.5em]&=2∠ABC\\[0.5em]\therefore∠AOC&=180°\end{align*}
となります。
3. 弧$AC$の長さが円周の半分より短いとき
点$B$を含まないほうの弧$AC$の長さが円周の半分より短いときを考えます。
1.の場合と異なり、点$B$の位置によって中心角と円周角の関係の求め方が変わります。
3-1. $△ABC$の内部に中心$O$があるとき
$OA,OC$と$OB$を延長した直径$BD$を引きます。
二等辺三角形$△OAB,△OBC$の底角をそれぞれ$α,β$とすると、$∠ABC$は$∠ABC=α+β$となります。この角は点$B$を含まないほうの弧$AC$に対する円周角です。
また、外角の定理より$∠AOD=2α,∠COD=2β$となるので、同じ弧に対する中心角$∠AOC$は
\begin{align*}∠AOC&=2\alpha+2\beta\\[0.5em]&=2(\alpha+\beta)\\[0.5em]\therefore∠AOC&=2∠ABC\end{align*}
となります。
これは弧$AC$上の$△ABC$の内部に中心$O$があるような位置に点$B$がある限り常に成り立ちます。
3-2. $△ABC$の辺上に中心$O$があるとき
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$OA,OB$を引くとこれらは円$O$の半径なので$△OAB$は二等辺三角形となります。
$△OAB$の底角を$α$とすると、点$B$を含まないほうの弧$AC$に対する円周角$∠ABC$は$∠ABC=α$となります。
また、外角の定理より同じ弧に対する中心角$∠AOC$は
\begin{align*}∠AOC&=2\alpha\\[0.5em]\therefore∠AOC&=2∠ABC\end{align*}
となります。これは$AB$上に中心$O$がある場合でも同様です。
3-3. $△ABC$の外部に中心$O$がある場合
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$OA,OC$と$OB$を延長した直径$BD$を引きます。
二等辺三角形$△OAB,△OBC$の底角をそれぞれ$α,β$とすると、$∠ABC$は$∠ABC=α-β$となります。この角は点$B$を含まないほうの弧$AC$に対する円周角です。
また、外角の定理より$∠AOD=2α,∠COD=2β$となるので、同じ弧に対する中心角$∠AOC$は
\begin{align*}∠AOC&=2\alpha-2\beta\\[0.5em]&=2(\alpha-\beta)\\[0.5em]\therefore∠AOC&=2∠ABC\end{align*}
となります。これは点$B$が点$A$より点$C$に近い場合でも同様です。
したがって、弧$AC$上の$△ABC$の外部に中心$O$があるような位置に点$B$がある限り常に成り立ちます。
3-1.、3-2.、3-3.より常に$∠AOC=2∠ABC$が成り立つことがわかります。
1.、2.、3.より3点$A,B,C$を円周上にどのように配置しても
という円周角の定理が成り立つことを確かめることができました。
- 1つの弧に対する中心角の大きさは同じ弧に対する円周角の大きさの2倍である。
- 1つの弧に対する円周角の大きさは一定である。
また、これに関連して
等しい弧に対する円周角の大きさは等しい
というものがあります。
これが成り立つことを確かめてみます。
円周に対する弧の長さの割合は、円の中心角に対するおうぎ形の中心角の割合に等しいため、等しい弧をもつおうぎ形$OAB,OCD$それぞれの中心角$∠AOB,∠COD$も等しくなります。
すると、円周角の定理よりそれぞれの弧に対する円周角は中心角の半分の大きさとなるため、等しい弧$AB,CD$それぞれに対する円周角も等しくなることがわかります。
(2024/9)一部数式が表示されない不具合を修正＆加筆
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