- 1つの弧に対する中心角の大きさは、同じ弧に対する円周角の大きさの2倍である。
- 1つの弧に対する円周角の大きさは一定である。
この円周角の定理はなぜ成り立つのでしょうか？
成り立つことを確かめる方法として以下のタレスの定理の証明方法を利用します。
タレスの定理
タレスの定理とは
円周上に円の直径の端点A,
CA,
Cとそれ以外の任意の点BBをおくと、∠ABC=90°∠ABC=90°（直角）となる。
という定理です。
これが成り立つことを確かめる方法は以下のようになります。
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上図のように円周上に円OOの直径の端点A,
CA,
C、それ以外の点BBをおきます。
OA, OB, OCOA, OB, OCはそれぞれ円OOの半径なので△OAB, △OBC△OAB, △OBCは二等辺三角形となります。
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OA, OB, OCOA, OB, OCはそれぞれ円OOの半径なので△OAB, △OBC△OAB, △OBCは二等辺三角形となります。
△OAB, △OBC△OAB, △OBCの底角をそれぞれα,βα,βとすると△ABC△ABCの内角は
2α+2β=180°2α+2β=180°
となります。
これの両辺を22で割れば
α+β=90°α+β=90°
となります。
∠ABC=α+β∠ABC=α+βなので、点BBがA,
CA,
C以外のどこにあっても常に∠ABC=90°∠ABC=90°が成り立ちます。
このときできる二等辺三角形の頂角の外角に着目して円周角の定理を確かめます。
円周角の定理
円OOの円周上に異なる3点A, B,
CA, B,
Cをおき、円周角∠ABC∠ABCについて考えます。
1. 弧ACACの長さが円周の半分より長いとき
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半径OA,
OCOA,
OCと直径BDBDを引きます。このときOA=OB=OCOA=OB=OCなので△OAB, △OBC△OAB, △OBCは二等辺三角形となります。
△OAB, △OBC△OAB, △OBCの底角をそれぞれα,βα,β、すなわち
∠ABC=α+β
となります。この角は点Bを含まないほうの弧ACに対する円周角となります。
∠OAB=∠OBA=α∠OBC=∠OCB=β∠OAB=∠OBA=α∠OBC=∠OCB=β
とすると、∠ABCは∠ABC=α+β
となります。この角は点Bを含まないほうの弧ACに対する円周角となります。
また、△OAB, △OBCそれぞれの頂角の外角∠AOD, ∠CODに着目すると∠AOD=2α,∠COD=2βとなります。
したがって、同じ弧に対する中心角∠AOCは
このことから円周角の定理の「1つの弧に対する中心角の大きさは、同じ弧に対する円周角の大きさの2倍である。」が成り立っていることがわかります。
∠AOC=2α+2β=2(α+β)∴∠AOC=2∠ABC
となります。
このことから円周角の定理の「1つの弧に対する中心角の大きさは、同じ弧に対する円周角の大きさの2倍である。」が成り立っていることがわかります。
また、これは同一の弧AC上の点A,
Cを除いたどの位置に点Bがあっても常に成り立ちます。すなわち、円周角の定理の「1つの弧に対する円周角の大きさは一定である。」が成り立っているということです。
2. 弧ACの長さが円周の半分に等しいとき
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これは先ほどのタレスの定理の証明法の図に頂角の外角を書き込む形となります。
BOを延長して直径BDを引きます。タレスの定理で導出した通り∠ABC=α+β=90°であり、この角は点Bを含まないほうの弧ACに対する円周角です。
1.と同様に外角の定理より∠AOD=2α,∠COD=2βなので、同じ弧に対する中心角∠AOCは
∠AOC=2(α+β)=2∠ABC∴∠AOC=180°
となります。
3. 弧ACの長さが円周の半分より短いとき
点Bを含まないほうの弧ACの長さが円周の半分より短いときを考えます。
1.の場合と異なり、点Bの位置によって中心角と円周角の関係の求め方が変わります。
3-1. △ABCの内部に中心Oがあるとき
OA, OCとOBを延長した直径BDを引きます。
二等辺三角形△OAB, △OBCの底角をそれぞれα,βとすると、∠ABCは∠ABC=α+βとなります。この角は点Bを含まないほうの弧ACに対する円周角です。
また、外角の定理より∠AOD=2α,∠COD=2βとなるので、同じ弧に対する中心角∠AOCは
∠AOC=2α+2β=2(α+β)∴∠AOC=2∠ABC
となります。
これは弧AC上の△ABCの内部に中心Oがあるような位置に点Bがある限り常に成り立ちます。
3-2. △ABCの辺上に中心Oがあるとき
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OA,
OBを引くとこれらは円Oの半径なので△OABは二等辺三角形となります。
△OABの底角をαとすると、点Bを含まないほうの弧ACに対する円周角∠ABCは∠ABC=αとなります。
また、外角の定理より同じ弧に対する中心角∠AOCは
∠AOC=2α∴∠AOC=2∠ABC
となります。これはAB上に中心Oがある場合でも同様です。
3-3. △ABCの外部に中心Oがある場合
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OA, OCとOBを延長した直径BDを引きます。
二等辺三角形△OAB, △OBCの底角をそれぞれα,βとすると、∠ABCは∠ABC=α−βとなります。この角は点Bを含まないほうの弧ACに対する円周角です。
また、外角の定理より∠AOD=2α,∠COD=2βとなるので、同じ弧に対する中心角∠AOCは
∠AOC=2α−2β=2(α−β)∴∠AOC=2∠ABC
となります。これは点Bが点Aより点Cに近い場合でも同様です。
したがって、弧AC上の△ABCの外部に中心Oがあるような位置に点Bがある限り常に成り立ちます。
3-1.、3-2.、3-3.より常に∠AOC=2∠ABCが成り立つことがわかります。
1.、2.、3.より3点A, B, Cを円周上にどのように配置しても
という円周角の定理が成り立つことを確かめることができました。
- 1つの弧に対する中心角の大きさは同じ弧に対する円周角の大きさの2倍である。
- 1つの弧に対する円周角の大きさは一定である。
また、これに関連して
等しい弧に対する円周角の大きさは等しい
というものがあります。
これが成り立つことを確かめてみます。
円周に対する弧の長さの割合は、円の中心角に対するおうぎ形の中心角の割合に等しいため、等しい弧をもつおうぎ形OAB,
OCDそれぞれの中心角∠AOB, ∠CODも等しくなります。
すると、円周角の定理よりそれぞれの弧に対する円周角は中心角の半分の大きさとなるため、等しい弧AB,
CDそれぞれに対する円周角も等しくなることがわかります。
(2024/9)一部数式が表示されない不具合を修正＆加筆
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