\[\Large \frac{616}{a}\]
「上の分数が整数となるような自然数$a$は何個あるか？」
分数が整数になるときを考えてみます。
分数$\dfrac{p}{q}$の$p$が
\[p=p'q\]
という2つの整数の因数$p',q$で表すことができるとき、
\[\frac{p}{q}=\frac{p'q}{q}=p'\]
のように約分できて分数は整数になります。
$p$の整数の因数$p',q$とは$p$の約数のことであるため、分母が$p$の約数であるときに分数が整数となることがわかります。
また、自然数は正の整数のことなので分母は正の約数に絞られます。
例えば、
\[\frac{6}{a}\]
の場合は$6$の正の約数は$1,2,3,6$の4個ですべて$6$を割り切ることができ、それ以外の$4,5$や$6$より大きい自然数では割り切ることができません。
したがって、$\dfrac{6}{a}$が整数となるような自然数$a$の個数は正の約数と同じ4個となります。
このことからこの問題は$616$の正の約数の個数を求めよ、と解釈することができます。
約数を調べるためには$616$を素因数分解する必要があります。
\[616=2^3×7×11\]
なので、正の約数をつくるときの素因数の選び方は
なので、正の約数の個数は$4×2×2=16$個であるとわかります。
- $2$を0個、1個、2個、3個の4通り
- $7$を0個、1個の2通り
- $11$を0個、1個の2通り
したがって、$\dfrac{616}{a}$が整数になるような自然数$a$の個数は16個です。
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