分数式に代入して整数値を出せる自然数は何個？

$$\Large \frac{616}{a}$$

「上の分数が整数となるような自然数$a$は何個あるか？」

　このような問題はどのように解けばよいでしょうか？

　分数が整数になるときを考えてみます。
分数$\dfrac{p}{q}$の$p$が

$$p=p'q$$

という2つの整数の因数$p',q$で表すことができるとき、

$$\frac{p}{q}=\frac{p'q}{q}=p'$$

のように約分できて分数は整数になります。

$p$の整数の因数$p',q$とは$p$の約数のことであるため、分母が$p$の約数であるときに分数が整数となることがわかります。
また、自然数は正の整数のことなので分母は正の約数に絞られます。

例えば、

$$\frac{6}{a}$$

の場合は$6$の正の約数は$1,2,3,6$の4個ですべて$6$を割り切ることができ、それ以外の$4,5$や$6$より大きい自然数では割り切ることができません。
したがって、$\dfrac{6}{a}$が整数となるような自然数$a$の個数は正の約数と同じ4個となります。

このことからこの問題は$616$の正の約数の個数を求めよ、と解釈することができます。

　約数を調べるためには$616$を素因数分解する必要があります。

$$616=2^3×7×11$$

なので、正の約数をつくるときの素因数の選び方は

• $2$を0個、1個、2個、3個の4通り
• $7$を0個、1個の2通り
• $11$を0個、1個の2通り

なので、正の約数の個数は$4×2×2=16$個であるとわかります。

したがって、$\dfrac{616}{a}$が整数になるような自然数$a$の個数は16個です。

関連：素因数分解を利用して約数・約数の個数を求める