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2022年6月20日

「pならばq」を否定すると?

 「pならばq」という命題を否定すると何になるのでしょうか?

 「pならばq」が真のときを考えます。
命題が真のとき
pならばq」が真のとき

pならばq」が真のとき、必要条件、十分条件の関係をベン図で考えると上図のようになります。
Pは条件pを満たす集合、Qは条件qを満たす集合です。(※全体集合Uは省略)

pならばq」が真であるとは、集合Qの中の一部分が集合Pであるということなので、これの否定とは「pならばq」が偽、すなわち集合Pの一部または全部が集合Qの外にあるということです。
命題が偽のとき
pならばq」が偽のとき

では、そのことをどのように書けばよいかというと、集合Pが集合Qの外にあることを指摘すればよいのです。

PかつQでない
集合Pの集合Qの外にある部分は集合Pと集合Qの補集合\overline{Q}の重なり合っている部分なのでP\cap\overline{Q}PかつQでない)となります。これが「pならばq」が真のときの否定となります。
pならばq」が真のとき「PかつQでない」部分はないので偽に、「pならばq」が偽のとき「PかつQでない」部分があるので真となります。

PかつQでない」は命題の真偽判定のときの反例が該当します。
例えば、「x+yが偶数ならばx,yともに偶数である」は偽でその反例は「x,yともに奇数」ですが、これはPにあたる「x+yが偶数」を満たしますがQにあたる「x,yともに偶数である」を満たさないので「PかつQでない」になっています。


 今度は「PかつQでない」の否定について考えてみます。

pならばq」が偽のとき

PかつQでない」とは、上図のように集合Pの一部または全部が集合Qの外にある部分のことなので、その否定とは集合P集合Qの外にないということです。

P\cap\overline{Q}PかつQでない)がないことは言い換えればP\cap\overline{Q}PかつQでない)でないことがどこでも成り立つことを意味します。

Pでない、またはQ
どこでも「Pでない、またはQ」が成り立つ

Pでない、またはQ2
PかつQでない」があるとPでない、またはQ」でない部分になる

ド・モルガンの法則よりP\cap\overline{Q}PかつQでない)の否定は
\overline{P\cap\overline{Q}}=\overline{P}\cup Q


Pでない、またはQ」となります。これが「PかつQでない」の否定となります。
また、「pならばq」の否定(「PかつQでない」)の否定なので「pならばq」と「Pでない、またはQ」は同値となります。

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