「pならばq」が真のときを考えます。
「pならばq」が真であるとは、集合Qの中の一部分が集合Pであるということなので、これの否定とは「pならばq」が偽、すなわち集合Pの一部または全部が集合Qの外にあるということです。
![]() |
「pならばq」が偽のとき |
では、そのことをどのように書けばよいかというと、集合Pが集合Qの外にあることを指摘すればよいのです。
集合Pの集合Qの外にある部分は集合Pと集合Qの補集合\overline{Q}の重なり合っている部分なのでP\cap\overline{Q}(PかつQでない)となります。これが「pならばq」が真のときの否定となります。「pならばq」が真のとき「PかつQでない」部分はないので偽に、「pならばq」が偽のとき「PかつQでない」部分があるので真となります。
「PかつQでない」は命題の真偽判定のときの反例が該当します。
例えば、「x+yが偶数ならばx,yともに偶数である」は偽でその反例は「x,yともに奇数」ですが、これはPにあたる「x+yが偶数」を満たしますがQにあたる「x,yともに偶数である」を満たさないので「PかつQでない」になっています。
今度は「PかつQでない」の否定について考えてみます。
![]() |
「pならばq」が偽のとき |
「PかつQでない」とは、上図のように集合Pの一部または全部が集合Qの外にある部分のことなので、その否定とは集合Pが集合Qの外にないということです。
P\cap\overline{Q}(PかつQでない)がないことは言い換えればP\cap\overline{Q}(PかつQでない)でないことがどこでも成り立つことを意味します。
Share: