三角関数の合成　sinやcosの係数をどうするか？ ~ 数学について考えてみる

2022年6月19日

三角関数の合成　sinやcosの係数をどうするか？

PLUMBAGO

　三角関数の合成とは同じ角度が入っている三角関数の和や差、すなわち $a\sinθ+b\cosθ$ や $a\sinθ-b\cosθ$ を1つの三角関数で表す方法のことです。

　三角関数の合成の公式は以下のようになります。

公式1

\begin{matrix} (複号同順) & a \sin θ \pm b \cos θ = r \sin (θ \pm α) \end{matrix}

$\large a\sin\theta\pm b\cos\theta=r\sin(\theta\pm\alpha)\tag{複号同順}$

r, θ

$r,θ$ はそれぞれ

\begin{aligned} r = \sqrt{a^{2} + b^{2}} \\ {\begin{cases} \cos α = \frac{a}{\sqrt{a^{2} + b^{2}}} \\ \sin α = \frac{b}{\sqrt{a^{2} + b^{2}}} \end{cases} \end{aligned}

$\begin{align*}\large r=\sqrt{a^2+b^2}\\[0.5em]\large\begin{cases}\cos\alpha=\dfrac{\color{red}a}{\sqrt{a^2+b^2}}\\[0.5em]\sin\alpha=\dfrac{\color{blue}b}{\sqrt{a^2+b^2}}\end{cases}\end{align*}$

を満たす。

公式2

\begin{matrix} (複号同順) & a \sin θ \pm b \cos θ = \pm r \cos (θ \mp α) \end{matrix}

$\large a\sin\theta\pm b\cos\theta=\pm r\cos(\theta\mp\alpha)\tag{複号同順}$

r, θ

$r,θ$ はそれぞれ

\begin{aligned} r = \sqrt{a^{2} + b^{2}} \\ {\begin{cases} \cos α = \frac{b}{\sqrt{a^{2} + b^{2}}} \\ \sin α = \frac{a}{\sqrt{a^{2} + b^{2}}} \end{cases} \end{aligned}

$\begin{align*}\large r=\sqrt{a^2+b^2}\\[0.5em]\large\begin{cases}\cos\alpha=\dfrac{\color{blue}b}{\sqrt{a^2+b^2}}\\[0.5em]\sin\alpha=\dfrac{\color{red}a}{\sqrt{a^2+b^2}}\end{cases}\end{align*}$

を満たす。

これらは加法定理を利用して導くことができます。

$(a,b)$ を考える場合

　実数

a, b

$a,b$ によって表される点の座標として

(a, b)

$(a,b)$ を考えます。

原点から

(a, b)

$(a,b)$ までの距離を

r

$r$ 、

(a, b)

$(a,b)$ における動径のなす角を

α

$α$ とおくと

(a, b) = (r \cos α, r \sin α)

$(a,b)=(r\cosα,r\sinα)$ と表せます。このとき、

r

$r$ は

r = \sqrt{a^{2} + b^{2}}

$r=\sqrt{a^2+b^2}$

、

α

$α$ は連立方程式

{\begin{cases} \cos α = \frac{a}{\sqrt{a^{2} + b^{2}}} \\ \sin α = \frac{b}{\sqrt{a^{2} + b^{2}}} \end{cases}

$\begin{cases}\cos\alpha=\dfrac{a}{\sqrt{a^2+b^2}}\\[0.5em]\sin\alpha=\dfrac{b}{\sqrt{a^2+b^2}}\end{cases}$

より求められます。

したがって、

a \sin θ + b \cos θ

$a\sinθ+b\cosθ$ は

\begin{aligned} a \sin θ + b \cos θ & = r \cos α \sin θ + r \sin α \cos θ \\ = r (\cos α \sin θ + \sin α \cos θ) \\ = r (\sin θ \cos α + \cos θ \sin α) \end{aligned}

$\begin{align*}a\sin\theta+b\cos\theta&=r\cos\alpha\sin\theta+r\sin\alpha\cos\theta\\[0.5em]&=r(\cos\alpha\sin\theta+\sin\alpha\cos\theta)\\[0.5em]&=r(\sin\theta\cos\alpha+\cos\theta\sin\alpha)\end{align*}$

と変形でき、加法定理

\sin (x + y) = \sin x \cos y + \cos x \sin y

$\sin(x+y)=\sin x\cos y+\cos x\sin y$ より

a \sin θ + b \cos θ = r \sin (θ + α)

$\large a\sin\theta+b\cos\theta=r\sin(\theta+\alpha)$

が導かれます。

　同様に

a \sin θ - b \cos θ

$a\sinθ-b\cosθ$ は

\begin{aligned} a \sin θ - b \cos θ & = r \cos α \sin θ - r \sin α \cos θ \\ = r (\cos α \sin θ - \sin α \cos θ) \\ = r (\sin θ \cos α - \cos θ \sin α) \end{aligned}

$\begin{align*}a\sin\theta-b\cos\theta&=r\cos\alpha\sin\theta-r\sin\alpha\cos\theta\\[0.5em]&=r(\cos\alpha\sin\theta-\sin\alpha\cos\theta)\\[0.5em]&=r(\sin\theta\cos\alpha-\cos\theta\sin\alpha)\end{align*}$

と変形でき、加法定理

\sin (x - y) = \sin x \cos y - \cos x \sin y

$\sin(x-y)=\sin x\cos y-\cos x\sin y$ より

a \sin θ - b \cos θ = r \sin (θ - α)

$\large a\sin\theta-b\cos\theta=r\sin(\theta-\alpha)$

が導かれます。

$(b,a)$ を考える場合

　今度は実数

a, b

$a,b$ によって表される点の座標として

(b, a)

$(b,a)$ を考えます。

原点から

(b, a)

$(b,a)$ までの距離を

r

$r$ 、

(b, a)

$(b,a)$ における動径のなす角を

α

$α$ とおくと

(b, a) = (r \cos α, r \sin α)

$(b,a)=(r\cosα,r\sinα)$ と表せます。このとき、

r

$r$ は

r = \sqrt{b^{2} + a^{2}} = \sqrt{a^{2} + b^{2}}

$r=\sqrt{b^2+a^2}=\sqrt{a^2+b^2}$

、

α

$α$ は連立方程式

{\begin{cases} \cos α = \frac{b}{\sqrt{a^{2} + b^{2}}} \\ \sin α = \frac{a}{\sqrt{a^{2} + b^{2}}} \end{cases}

$\begin{cases}\cos\alpha=\dfrac{b}{\sqrt{a^2+b^2}}\\[0.5em]\sin\alpha=\dfrac{a}{\sqrt{a^2+b^2}}\end{cases}$

より求められます。

したがって、

a \sin θ + b \cos θ

$a\sinθ+b\cosθ$ は

\begin{aligned} a \sin θ + b \cos θ & = r \sin α \sin θ + r \cos α \cos θ \\ = r (\sin α \sin θ + \cos α \cos θ) \\ = r (\cos θ \cos α + \sin θ \sin α) \end{aligned}

$\begin{align*}a\sin\theta+b\cos\theta&=r\sin\alpha\sin\theta+r\cos\alpha\cos\theta\\[0.5em]&=r(\sin\alpha\sin\theta+\cos\alpha\cos\theta)\\[0.5em]&=r(\cos\theta\cos\alpha+\sin\theta\sin\alpha)\end{align*}$

と変形でき、加法定理

\cos (x - y) = \cos x \cos y + \sin x \sin y

$\cos(x-y)=\cos x\cos y+\sin x\sin y$ より

a \sin θ + b \cos θ = r \cos (θ - α)

$\large a\sin\theta+b\cos\theta=r\cos(\theta-\alpha)$

が導かれます。

　同様に

a \sin θ - b \cos θ

$a\sinθ-b\cosθ$ は

\begin{aligned} a \sin θ - b \cos θ & = r \sin α \sin θ - r \cos α \cos θ \\ = r (\sin α \sin θ - \cos α \cos θ) \\ = - r (\cos θ \cos α - \sin θ \sin α) \end{aligned}

$\begin{align*}a\sin\theta-b\cos\theta&=r\sin\alpha\sin\theta-r\cos\alpha\cos\theta\\[0.5em]&=r(\sin\alpha\sin\theta-\cos\alpha\cos\theta)\\[0.5em]&=-r(\cos\theta\cos\alpha-\sin\theta\sin\alpha)\end{align*}$

と変形でき、加法定理