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2022年6月19日

三角関数の合成 sinやcosの係数をどうするか?

 三角関数の合成とは同じ角度が入っている三角関数の和や差、すなわちasinθ+bcosθasinθbcosθを1つの三角関数で表す方法のことです。

 三角関数の合成の公式は以下のようになります。

公式1

(複号同順)asinθ±bcosθ=rsin(θ±α)
r,θはそれぞれ
r=a2+b2{cosα=aa2+b2sinα=ba2+b2
を満たす。

公式2

(複号同順)asinθ±bcosθ=±rcos(θα)
r,θはそれぞれ
r=a2+b2{cosα=ba2+b2sinα=aa2+b2
を満たす。

これらは加法定理を利用して導くことができます。


(a,b)を考える場合

点(a,b)と三角関数をもちいた座標表示
 実数a,bによって表される点の座標として(a,b)を考えます。
原点から(a,b)までの距離をr(a,b)における動径のなす角をαとおくと(a,b)=(rcosα,rsinα)と表せます。このとき、r
r=a2+b2
αは連立方程式
{cosα=aa2+b2sinα=ba2+b2
より求められます。
したがって、asinθ+bcosθ
asinθ+bcosθ=rcosαsinθ+rsinαcosθ=r(cosαsinθ+sinαcosθ)=r(sinθcosα+cosθsinα)
と変形でき、加法定理sin(x+y)=sinxcosy+cosxsinyより
asinθ+bcosθ=rsin(θ+α)
が導かれます。
 同様にasinθbcosθ
asinθbcosθ=rcosαsinθrsinαcosθ=r(cosαsinθsinαcosθ)=r(sinθcosαcosθsinα)
と変形でき、加法定理sin(xy)=sinxcosycosxsinyより
asinθbcosθ=rsin(θα)
が導かれます。

(b,a)を考える場合

点(b,a)と三角関数をもちいた座標表示
 今度は実数a,bによって表される点の座標として(b,a)を考えます。
原点から(b,a)までの距離をr(b,a)における動径のなす角をαとおくと(b,a)=(rcosα,rsinα)と表せます。このとき、r
r=b2+a2=a2+b2
αは連立方程式
{cosα=ba2+b2sinα=aa2+b2
より求められます。
したがって、asinθ+bcosθ
asinθ+bcosθ=rsinαsinθ+rcosαcosθ=r(sinαsinθ+cosαcosθ)=r(cosθcosα+sinθsinα)
と変形でき、加法定理cos(xy)=cosxcosy+sinxsinyより
asinθ+bcosθ=rcos(θα)
が導かれます。
 同様にasinθbcosθ
asinθbcosθ=rsinαsinθrcosαcosθ=r(sinαsinθcosαcosθ)=r(cosθcosαsinθsinα)
と変形でき、加法定理cos(x+y)=cosxcosysinxsinyより
asinθbcosθ=rcos(θ+α)
が導かれます。

以上のようにして三角関数の合成の公式を導くことができます。

(2024/5)内容を修正しました。
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