三角関数の合成とは同じ角度が入っている三角関数の和や差、すなわちasinθ+bcosθやasinθ−bcosθを1つの三角関数で表す方法のことです。
三角関数の合成の公式は以下のようになります。
公式1
asinθ±bcosθ=rsin(θ±α)(複号同順)
r,θはそれぞれ
r=√a2+b2⎧⎪
⎪
⎪
⎪⎨⎪
⎪
⎪
⎪⎩cosα=a√a2+b2sinα=b√a2+b2
を満たす。
公式2
asinθ±bcosθ=±rcos(θ∓α)(複号同順)
r,θはそれぞれ
r=√a2+b2⎧⎪
⎪
⎪
⎪⎨⎪
⎪
⎪
⎪⎩cosα=b√a2+b2sinα=a√a2+b2
を満たす。
これらは加法定理を利用して導くことができます。
(a,b)を考える場合
実数
a,bによって表される点の座標として
(a,b)を考えます。
原点から
(a,b)までの距離を
r、
(a,b)における動径のなす角を
αとおくと
(a,b)=(rcosα,rsinα)と表せます。このとき、
rは
r=√a2+b2
、
αは連立方程式
⎧⎪
⎪
⎪
⎪⎨⎪
⎪
⎪
⎪⎩cosα=a√a2+b2sinα=b√a2+b2
より求められます。
したがって、
asinθ+bcosθは
asinθ+bcosθ=rcosαsinθ+rsinαcosθ=r(cosαsinθ+sinαcosθ)=r(sinθcosα+cosθsinα)
と変形でき、加法定理
sin(x+y)=sinxcosy+cosxsinyより
asinθ+bcosθ=rsin(θ+α)
が導かれます。
同様に
asinθ−bcosθは
asinθ−bcosθ=rcosαsinθ−rsinαcosθ=r(cosαsinθ−sinαcosθ)=r(sinθcosα−cosθsinα)
と変形でき、加法定理
sin(x−y)=sinxcosy−cosxsinyより
asinθ−bcosθ=rsin(θ−α)
が導かれます。
(b,a)を考える場合
今度は実数
a,bによって表される点の座標として
(b,a)を考えます。
原点から
(b,a)までの距離を
r、
(b,a)における動径のなす角を
αとおくと
(b,a)=(rcosα,rsinα)と表せます。このとき、
rは
r=√b2+a2=√a2+b2
、
αは連立方程式
⎧⎪
⎪
⎪
⎪⎨⎪
⎪
⎪
⎪⎩cosα=b√a2+b2sinα=a√a2+b2
より求められます。
したがって、
asinθ+bcosθは
asinθ+bcosθ=rsinαsinθ+rcosαcosθ=r(sinαsinθ+cosαcosθ)=r(cosθcosα+sinθsinα)
と変形でき、加法定理
cos(x−y)=cosxcosy+sinxsinyより
asinθ+bcosθ=rcos(θ−α)
が導かれます。
同様に
asinθ−bcosθは
asinθ−bcosθ=rsinαsinθ−rcosαcosθ=r(sinαsinθ−cosαcosθ)=−r(cosθcosα−sinθsinα)
と変形でき、加法定理
cos(x+y)=cosxcosy−sinxsinyより
asinθ−bcosθ=−rcos(θ+α)
が導かれます。
以上のようにして三角関数の合成の公式を導くことができます。
(2024/5)内容を修正しました。