「次の関数を微分せよ。
(1)$\large e^{\log_e{x}}$ $\large(x>0)$
(2)$\large e^{x\log_e{2}}$
(3)$\large e^{\log_3{x}}$ $\large(x>0)$」
このような問題はどのように解けばよいでしょうか？
どれも見た目は合成関数なので合成関数の微分で解いてみます。
(1)$e^{\log_e{x}}$ $(x>0)$
$f(t)=e^t,\ t=g(x)=\log_e{x}$となる合成関数なので合成関数の微分
\[\{f(g(x)\}'=f'(g(x))g'(x)\]
より
\begin{align*}\left(e^{\log_e{x}}\right)'&=e^{\log_e{x}}\cdot\frac{1}{x}\\[0.5em]&=\frac{e^{\log_e{x}}}{x}\end{align*}
ここで、$\log_e{x}$は$e$をべき乗して$x$にするような数のことなので
\[e^{\log_e{x}}=x\]
となります。したがって、
\begin{align*}\left(e^{\log_e{x}}\right)'&=\frac{x}{x}=1\end{align*}
となります。
$e^{\log_e{x}}=x$を先にしてしまえば
\[\left(e^{\log_e{x}}\right)'=(x)'=1\]
のように簡単にすることもできます。
(2)$e^{x\log_e{2}}$
$f(t)=e^t,\ t=g(x)=x\log_e{2}$となる合成関数なので
\begin{align*}\left(e^{x\log_e{2}}\right)'&=e^{x\log_e{2}}\cdot(x\log_e{2})'\\[0.5em]&=\left(e^{\log_e{2}}\right)^x\cdot(x\log_e{2})'\end{align*}
ここで$e^{\log_e{2}}=2$であることと$\log_e{2}$は定数なので$x\log_e{2}$が1次関数であることに着目すれば
\begin{align*}\left(e^{x\log_e{2}}\right)'&=2^x\log_e{2}\end{align*}
となります。
$e^{\log_e{2}}=2$を先にすれば
\begin{align*}\left(e^{x\log_e{2}}\right)'&=(2^x)'\\[0.5em]&=2^x\log_e{2}\end{align*}
のようにシンプルな指数関数の微分になります。
(3)$e^{\log_3{x}}$ $(x>0)$
$f(t)=e^t,\ t=g(x)=\log_3{x}$となる合成関数なので
\begin{align*}\left(e^{\log_3{x}}\right)'&=e^{\log_3{x}}\cdot(\log_3{x})'\\[0.5em]&=\frac{e^{\log_3{x}}}{x\log_e{3}}\end{align*}
となります。
これを少し変わった方法で微分すると$e=3^{\log_3{e}}$と書けるから
\begin{align*}e^{\log_3{x}}&=\left(3^{\log_3{e}}\right)^{\log_3{x}}\\[0.5em]&=3^{\log_3{e}\log_3{x}}\\[0.5em]&=\left(3^{\log_3{x}}\right)^{\log_3{e}}\\[0.5em]&=x^{\log_3{e}}\end{align*}
したがって
\begin{align*}\left(e^{\log_3{x}}\right)'&=\left(x^{\log_3{e}}\right)'\\[0.5em]&=x^{\log_3{e}-1}\log_3{e}\end{align*}
となります。微分の結果が違うように見えますが、対数の計算法則より
\begin{align*}\log_3{e}&=\frac{\log_e{e}}{\log_e{3}}\\[0.5em]&=\frac{1}{\log_e{3}}\end{align*}
となることと前述より$x^{\log_3{e}}=e^{\log_3{x}}$なので、
\begin{align*}x^{\log_3{e}-1}\log_3{e}&=\frac{x^{\log_3{e}}\log_3{e}}{x}\\[0.5em]&=\frac{e^{\log_3{x}}}{x\log_e{3}}\end{align*}
となり、同じ結果であることがわかります。
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