対数関数を指数に持つ指数関数の微分

「次の関数を微分せよ。

(1)$\large e^{\log_e{x}}$ $\large(x>0)$

(2)$\large e^{x\log_e{2}}$

(3)$\large e^{\log_3{x}}$ $\large(x>0)$」

　このような問題はどのように解けばよいでしょうか？

　どれも見た目は合成関数なので合成関数の微分で解いてみます。

(1)$e^{\log_e{x}}$ $(x>0)$

　$f(t)=e^t,\ t=g(x)=\log_e{x}$となる合成関数なので合成関数の微分

$$\{f(g(x)\}'=f'(g(x))g'(x)$$

より

$$\begin{align*}\left(e^{\log_e{x}}\right)'&=e^{\log_e{x}}\cdot\frac{1}{x}\\[0.5em]&=\frac{e^{\log_e{x}}}{x}\end{align*}$$

ここで、$\log_e{x}$は$e$をべき乗して$x$にするような数のことなので

$$e^{\log_e{x}}=x$$

となります。したがって、

$$\begin{align*}\left(e^{\log_e{x}}\right)'&=\frac{x}{x}=1\end{align*}$$

となります。

$e^{\log_e{x}}=x$を先にしてしまえば

$$\left(e^{\log_e{x}}\right)'=(x)'=1$$

のように簡単にすることもできます。

(2)$e^{x\log_e{2}}$

　$f(t)=e^t,\ t=g(x)=x\log_e{2}$となる合成関数なので

$$\begin{align*}\left(e^{x\log_e{2}}\right)'&=e^{x\log_e{2}}\cdot(x\log_e{2})'\\[0.5em]&=\left(e^{\log_e{2}}\right)^x\cdot(x\log_e{2})'\end{align*}$$

ここで$e^{\log_e{2}}=2$であることと$\log_e{2}$は定数なので$x\log_e{2}$が1次関数であることに着目すれば

$$\begin{align*}\left(e^{x\log_e{2}}\right)'&=2^x\log_e{2}\end{align*}$$

となります。

$e^{\log_e{2}}=2$を先にすれば

$$\begin{align*}\left(e^{x\log_e{2}}\right)'&=(2^x)'\\[0.5em]&=2^x\log_e{2}\end{align*}$$

のようにシンプルな指数関数の微分になります。

(3)$e^{\log_3{x}}$ $(x>0)$

　$f(t)=e^t,\ t=g(x)=\log_3{x}$となる合成関数なので

$$\begin{align*}\left(e^{\log_3{x}}\right)'&=e^{\log_3{x}}\cdot(\log_3{x})'\\[0.5em]&=\frac{e^{\log_3{x}}}{x\log_e{3}}\end{align*}$$

となります。

これを少し変わった方法で微分すると$e=3^{\log_3{e}}$と書けるから

$$\begin{align*}e^{\log_3{x}}&=\left(3^{\log_3{e}}\right)^{\log_3{x}}\\[0.5em]&=3^{\log_3{e}\log_3{x}}\\[0.5em]&=\left(3^{\log_3{x}}\right)^{\log_3{e}}\\[0.5em]&=x^{\log_3{e}}\end{align*}$$

したがって

$$\begin{align*}\left(e^{\log_3{x}}\right)'&=\left(x^{\log_3{e}}\right)'\\[0.5em]&=x^{\log_3{e}-1}\log_3{e}\end{align*}$$

となります。微分の結果が違うように見えますが、対数の計算法則より

$$\begin{align*}\log_3{e}&=\frac{\log_e{e}}{\log_e{3}}\\[0.5em]&=\frac{1}{\log_e{3}}\end{align*}$$

となることと前述より$x^{\log_3{e}}=e^{\log_3{x}}$なので、

$$\begin{align*}x^{\log_3{e}-1}\log_3{e}&=\frac{x^{\log_3{e}}\log_3{e}}{x}\\[0.5em]&=\frac{e^{\log_3{x}}}{x\log_e{3}}\end{align*}$$

となり、同じ結果であることがわかります。

関連：合成関数の微分

関連：対数の計算法則