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2024年8月12日

平均変化率とは?

 平均変化率とは、xの変化量に対するyの変化量の割合、言い換えればxの増加量1あたりのyの変化量のことです。変化の割合ともいいます。


平均変化率
関数y=f(x)xaからbまで変化するとき、yf(a)からf(b)まで変化します。このときの平均変化率は
\large\frac{f(b)-f(a)}{b-a}\tag1
で求めることができます。
ここで、1次関数y=px+qp,q:実数)の平均変化率を調べてみると、(1)より
\begin{align*}\frac{(pb+q)-(pa+q)}{b-a}&=\frac{p(b-a)}{b-a}\\[0.5em]&=p\end{align*}
となります。a,bは任意の実数なので、どの区間でも平均変化率は常にpであるということです。
そしてpは1次関数の傾きでもあるので、1次関数の平均変化率は傾きに等しくなることがわかります。
すなわち、直線が通る2点の座標がわかっている場合、その直線の傾きを(1)を利用して求めることができます。
また、関数y=f(x)のグラフ上の2点\bigl(a,f(a)\bigr),\bigl(b,f(b)\bigr)を通る1次関数(ただし、傾き0も含む)が必ず存在することを考えれば、関数y=f(x)xの値がaからbまで変化するときの平均変化率は2点\bigl(a,f(a)\bigr),\bigl(b,f(b)\bigr)を通る直線の傾きに等しいことがわかります。

平均変化率と微分係数
 xの値aを基準とし、xの変化量をhとしてy=f(x)の平均変化率を考えると、これはxaからa+hまで変化し、yf(a)からf(a+h)まで変化した場合を考えているので(1)より
\frac{f(a+h)-f(a)}{(a+h)-a}=\large\frac{f(a+h)-f(a)}{h}\tag2
と書くことができます。
(2)においてxの変化量h0に限りなく近づけた場合の平均変化率のことを微分係数といい、
\lim_{h\to0}\frac{f(a+h)-f(a)}{h}
という式で表されます。
関数y=f(x)のグラフが直線の場合はaの値にかかわらず微分係数は直線の傾きとなりますが、y=f(x)のグラフが曲線の場合はx=aにおける微分係数はその点における接線の傾きとなります。

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