正十二角形の面積を求める

「上図の正十二角形の面積を求めよ。」

　問題の正十二角形は最も遠い頂点同士の距離だけがわかっています。

この正十二角形に外接する円を描くと、これは外接円の直径となることがわかります。

他の頂点を通る外接円の直径を引くと、正十二角形は12個の合同な二等辺三角形に分割されます。

これら二等辺三角形は頂角が円の中心角$360°$の$\dfrac{1}{12}$なので$30°$、底角が$75°$、等辺の長さは正十二角形の外接円の半径に等しいので$6$となります。

この二等辺三角形の面積は補助線1本を引くことで求められます。

底角の1つから対辺へ垂線を下ろすと、$30°-60°-90°$の直角三角形ができます。

この直角三角形の斜辺と短辺の比は$2:1$なので、短辺の長さは$3$です。

短辺とは先ほど引いた垂線のことなので、垂線の長さは$3$であることがわかります。

垂線をおろした辺を底辺とすると、垂線の長さは二等辺三角形の高さとなるので、面積は

$$6\times3\div2=9$$

と求められます。

関連：1つの辺の長さがわかれば面積が求められる特殊な三角形

したがって、正十二角形の面積はこの二等辺三角形の面積の12倍なので

$$9\times12=108$$

であるとわかります。

関連：正八角形の面積を求める