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2024年8月1日

放物線上の点の作図

放物線の準線lと焦点F
「上図の直線lを準線、点Fを焦点とする放物線を通る点A, B, Cを定規とコンパスで作図せよ。
Aは放物線の頂点、点Bは放物線の頂点以外の点とし、点Cは点A, Bの作図法以外の方法で作図すること。」

放物線と準線と焦点
 放物線とは、準線と焦点から等距離の点の集合のことです。
このことを作図に利用します。

Aの作図

1.

点Fを通る直線lの垂線を引く
Fを通る直線lの垂線を引き、垂線の足をGとします。

2.

線分FGの垂直二等分線を引くとFGの中点がAとなる
線分FGの中点をとると、これが放物線の頂点Aとなります。
放物線の軸は焦点と頂点を通り準線に垂直
焦点を通る準線に垂直な直線は放物線の軸で、これは頂点を通ることを利用しています。

Bの作図

1.

直線l上の点G以外の任意の点Hを通る垂線を引く
直線l上に点G以外の任意の点Hをとり、点Hを通る垂線を引きます。

2.

線分FHの垂直二等分線と点Hを通る直線lの垂線との交点がBとなる
線分FHを引き、その垂直二等分線を引きます。
1.の垂線と垂直二等分線の交点が点Bとなります。
垂直二等分線は線分の両端からの距離が等しい点の集合
ある線分の垂直二等分線はその線分の両端からの距離が等しい点の集合であることを利用しています。

Cの作図

1.

点Bを通る直線FGの垂線を引き、交点をIとする
放物線の軸である直線FGを引き、点Bを通る垂線を引きます。直線FGとの交点をIとします。

2.

点Iが中心、半径が線分BIの長さに等しい円弧と直線BIとの交点がCとなる
Iが中心、線分BIの長さが半径の円弧と直線BIとの交点が点Cとなります。
放物線はその軸に関して対称
放物線はその軸に関して対称な曲線であることを利用しています。

3点A, B, Cを通る放物線は上図のようになっています。

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