垂線の作図法 ~ 数学について考えてみる

2024年4月17日

PLUMBAGO

　直線$l$に対する点$\text{P}$を通る垂線を定規とコンパスを使って作図する方法を、点$\text{P}$が直線$l$上にある場合とない場合の2通り紹介します。

点$\text{P}$が直線$l$上にあるとき

　上図のように直線$l$上の点$\text{P}$を通る垂線を引く場合を考えます。

点$\text{P}$を中心とする円弧を描きます。

円弧と直線$l$との交点を$\text{A}, \text{B}$とします。すると、線分$\text{AB}$の中点は$\text{P}$となります。

2点$\text{A}, \text{B}$それぞれを中心とする半径の等しい円弧を描き、交点を$\text{Q}$とします。

直線$\text{PQ}$を引くと、これが点$\text{P}$を通る直線$l$の垂線となります。

　上図のように直線$l$上にない点$\text{P}$を通る垂線を引く場合を考えます。

点$\text{P}$を中心とする円弧を描き、直線$l$との交点を$\text{A}, \text{B}$とします。

2点$\text{A}, \text{B}$それぞれを中心とする半径の等しい円弧を描き、交点を$\text{Q}$とします。

直線$\text{PQ}$を引くと、これが点$\text{P}$を通る直線$l$の垂線となります。

　どちらの場合でも、垂直二等分線の性質

線分の両端からの距離が等しい点は必ずその線分の垂直二等分線上にある。

を利用しています。

点$\text{P}, \text{Q}$はともに2点$\text{A}, \text{B}$からの距離が等しい点です。
上記より、これらは線分$\text{AB}$の垂直二等分線上にあることがわかるため、線分$\text{AB}$の垂直二等分線と直線$\text{PQ}$は同一の直線です。

したがって、直線$\text{PQ}$は線分$\text{AB}$の延長である直線$l$に対し垂直であることから、直線$l$に対する点$\text{P}$を通る垂線であることがわかります。

(2026/8)内容を一部変更しました。