垂直二等分線の作図法 ~ 数学について考えてみる

2021年10月30日

PLUMBAGO

　垂直二等分線の定規とコンパスを使っての作図は以下のようになります。

1.

線分の両端から同じ半径の円弧を描きます。
2つの円弧が交わるような半径に調節してください。

2つの円弧の交点をすべて通るように直線を引きます。
この直線は線分に対し垂直で、長さを2等分する垂直二等分線となります。

　なぜこの方法で垂直二等分線が作図できるのかを考えます。

4点$\text{O, A, B, O'}$を線で結んでできる四角形$\text{OABO'}$の4辺$\text{OA, OB, O'A, O'B}$はどれも円弧の半径で、2つの円弧の半径は等しいので四角形$\text{OABO'}$はひし形であることがわかります。

線分$\text{OO', AB}$はひし形$\text{OABO'}$の対角線となります。ひし形は平行四辺形に属する四角形の1つで平行四辺形の性質より対角線は互いの中点で交わり、ひし形の性質より対角線は直交します。

したがって、線分$\text{AB}$は$\text{OO'}$における垂直二等分線であることがわかります。