重心の位置ベクトルの求め方 2通り

　重心の位置ベクトルは以下のようになります。

図1　重心の位置ベクトル

　$△ABC$の重心$G$の位置ベクトル$\vec{OG}$は

\[\vec{OG}=\frac{\vec{OA}+\vec{OB}+\vec{OC}}{3}\]

これを2通りの方法で求めてみました。

その1

図2　重心の位置ベクトルを求める

　重心の位置ベクトル$\vec{OG}$を$\vec{OA}$と$\vec{AG}$の2つのベクトルの合成で求めます。
そのために$△ABC$と合同な三角形を組み合わせた平行四辺形$ABA'C$を考え、$\vec{AG}$を$\vec{OA},\vec{OB},\vec{OC}$で表します。

\[\vec{AA'}=\vec{AB}+\vec{BA'}\]

となるため、

\begin{align*}\vec{AB}&=\vec{OB}-\vec{OA}\\[1em]\vec{BA'}&=\vec{AC}\\[0.5em]&=\vec{OC}-\vec{OA}\\[1em]\vec{AA'}&=\vec{OB}-\vec{OA}+\vec{OC}-\vec{OA}\\[0.5em]&=\vec{OB}+\vec{OC}-2\vec{OA}\end{align*}

$BC$の中点を$D$とすると、重心$G$は中線$AD$を$2:1$に内分することと$AD=DA'$から、

\begin{align*}AG:GD:DA'&=2:1:3\\[1em]AG:AA'&=AG:AG+GD+DA'\\[0.5em]&=2:2+1+3=1:3\end{align*}

このことから、

\begin{align*}\vec{AG}&=\frac{1}{3}\vec{AA'}\\[0.5em]&=\frac{\vec{OB}+\vec{OC}-2\vec{OA}}{3}\end{align*}

よって、

\begin{align*}\vec{OG}&=\vec{OA}+\vec{AG}\\[0.5em]&=\vec{OA}+\frac{\vec{OB}+\vec{OC}-2\vec{OA}}{3}\\[0.5em]&=\frac{\vec{OA}+\vec{OB}+\vec{OC}}{3}\end{align*}

その2

　重心の位置ベクトル$\vec{OG}$を$\vec{OA},\vec{AE},\vec{EG}$の合成で求めます。ただし、点$E$は$AC$の中点です。
そのために$\vec{AE},\vec{EG}$を$\vec{OA},\vec{OB},\vec{OC}$で表します。

\begin{align*}\vec{AE}&=\frac{1}{2}\vec{AC}\\[0.5em]&=\frac{\vec{OC}-\vec{OA}}{2}\end{align*}

点$G$は$△ABC$の重心であるから、

\[BG:GE=2:1\]

このことから$\vec{EG}$は

\begin{align*}\vec{EG}&=\frac{1}{3}\vec{EB}\\[0.5em]&=\frac{\vec{OB}-\vec{OE}}{3}\end{align*}

ここで、$\vec{OE}$は

\begin{align*}\vec{OE}&=\vec{OA}+\vec{AE}\\[0.5em]&=\vec{OA}+\frac{\vec{OC}-\vec{OA}}{2}\\[0.5em]&=\frac{\vec{OA}+\vec{OC}}{2}\end{align*}

したがって、

\begin{align*}\vec{EG}&=\frac{1}{3}\left(\vec{OB}-\frac{\vec{OA}+\vec{OC}}{2}\right)\\[0.5em]&=\frac{2\vec{OB}-\vec{OA}-\vec{OC}}{6}\end{align*}

よって、$\vec{OG}$は

\begin{align*}\vec{OG}&=\vec{OA}+\vec{AE}+\vec{EG}\\[0.5em]&=\vec{OA}+\frac{\vec{OC}-\vec{OA}}{2}+\frac{2\vec{OB}-\vec{OA}-\vec{OC}}{6}\\[0.5em]&=\frac{\vec{OA}+\vec{OB}+\vec{OC}}{3}\end{align*}