重心の位置ベクトルは以下のようになります。
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| 図1 重心の位置ベクトル |
△ABCの重心Gの位置ベクトル$\vec{OG}$は
\[\vec{OG}=\frac{\vec{OA}+\vec{OB}+\vec{OC}}{3}\]
これを2通りの方法で求めてみました。
その1
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| 図2 重心の位置ベクトルを求める |
重心の位置ベクトル$\vec{OG}$を$\vec{OA}$と$\vec{AG}$の2つのベクトルの合成で求めます。
そのために△ABCと合同な三角形を組み合わせた平行四辺形ABA'Cを考え、$\vec{AG}$を$\vec{OA},\vec{OB},\vec{OC}$で表します。
\[\vec{AA'}=\vec{AB}+\vec{BA'}\]
となるため、
\begin{align*}\vec{AB}&=\vec{OB}-\vec{OA}\\ \\ \vec{BA'}&=\vec{AC}\\ &=\vec{OC}-\vec{OA}\\ \\ \vec{AA'}&=\vec{OB}-\vec{OA}+\vec{OC}-\vec{OA}\\ &=\vec{OB}+\vec{OC}-2\vec{OA}\end{align*}
BCの中点をDとすると、重心Gは中線ADを2:1に内分することと$AD=DA'$から、
\begin{align*}AG:GD:DA'&=2:1:3\\ AG:AA'&=AG:AG+GD+DA'\\ &=2:2+1+3=1:3\end{align*}
このことから、
\begin{align*}\vec{AG}&=\frac{1}{3}\vec{AA'}\\ &=\frac{\vec{OB}+\vec{OC}-2\vec{OA}}{3}\end{align*}
よって、
\begin{align*}\vec{OG}&=\vec{OA}+\vec{AG}\\ &=\vec{OA}+\frac{\vec{OB}+\vec{OC}-2\vec{OA}}{3}\\ &=\frac{\vec{OA}+\vec{OB}+\vec{OC}}{3}\end{align*}
その2
そのために$\vec{AE},\vec{EG}$を$\vec{OA},\vec{OB},\vec{OC}$で表します。
\begin{align*}\vec{AE}&=\frac{1}{2}\vec{AC}\\ &=\frac{\vec{OC}-\vec{OA}}{2}\end{align*}
点Gは△ABCの重心であるから、
\[BG:GE=2:1\]
このことから$\vec{EG}$は
\begin{align*}\vec{EG}&=\frac{1}{3}\vec{EB}\\ &=\frac{\vec{OB}-\vec{OE}}{3}\end{align*}
ここで、$\vec{OE}$は
\begin{align*}\vec{OE}&=\vec{OA}+\vec{AE}\\ &=\vec{OA}+\frac{\vec{OC}-\vec{OA}}{2}\\ &=\frac{\vec{OA}+\vec{OC}}{2}\end{align*}
したがって、
\begin{align*}\vec{EG}&=\frac{1}{3}\left(\vec{OB}-\frac{\vec{OA}+\vec{OC}}{2}\right)\\ &=\frac{2\vec{OB}-\vec{OA}-\vec{OC}}{6}\end{align*}
よって、$\vec{OG}$は
\begin{align*}\vec{OG}&=\vec{OA}+\vec{AE}+\vec{EG}\\ &=\vec{OA}+\frac{\vec{OC}-\vec{OA}}{2}+\frac{2\vec{OB}-\vec{OA}-\vec{OC}}{6}\\ &=\frac{\vec{OA}+\vec{OB}+\vec{OC}}{3}\end{align*}
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