円や扇形を並べた正方形の1辺の長さは？

図1　円や扇形を並べた正方形

「図1のように扇形や円が入っている正方形がある。円と扇形の半径が1のとき正方形の1辺の長さと面積を求めよ。」

図2　正方形の対角線を引く

　正方形の対角線を1本引くと合同な2つの直角二等辺三角形ができます。対角線の長さは円と扇形の半径の長さより$4$であることがわかります。

対角線は直角二等辺三角形の斜辺でもあるので三角比より等辺の長さは

$$\begin{align*}4×\frac{1}{\sqrt{2}}&=\frac{4}{\sqrt{2}}\\[0.5em]&=\underline{2\sqrt{2}}\end{align*}$$

等辺の長さは、正方形の1辺の長さでもあります。

　正方形の面積は、1辺の長さを使って

$$(2\sqrt{2})^2=\underline{8}$$

となります。

したがって、

• 正方形の1辺の長さ：$\mathbf{2\sqrt{2}}$
• 正方形の面積：$\mathbf{8}$

がこの問題の答えとなります。