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2021年10月31日

正五角形の作図法

 正五角形は以下のように定規とコンパスを使って作図します。

正五角形の作図法

1.

直径を引く
\text{O}を描き。直径\text{AB}を引きます。

2.

直径の垂直二等分線を引く
\text{A, B}それぞれを中心とする半径が等しい円弧を描き、直径\text{AB}に垂直な直径\text{CD}を作図します。

3.

半径の1つの中点を作図
\text{O}と等しい半径の円弧を点\text{B}を中心として描き、半径\text{OB}の中点\text{E}を作図します。

4.

CEを半径とする円弧を描く
線分\text{CE}に等しい長さを半径とする円弧を点\text{E}を中心として描き、直径\text{AB}との交点\text{F}を作図します。

5.

CFを半径とする円弧を描く
線分\text{CF}に等しい長さを半径とする円弧を点\text{C}を中心として描き、円\text{O}との交点\text{G, H}を作図します。
線分\text{CG, CH}を引くとこれらが正五角形の辺となります。

6.

1辺の長さがCFの五角形を描く
線分\text{CF}に等しい長さを半径とする円弧を点\text{G, H}それぞれを中心として引き、円\text{O}との交点\text{I, J}をとり、線分\text{GI, HJ, IJ}を引きます。

7.

正五角形 作図
これで正五角形の作図ができました。この正五角形は円に内接する正五角形でもあります。

本当に正五角形か?

 本当に正五角形であるのかを手順4.、5.で作図に使用している長さを調べてみます。

√5/2
 手順4. で半径としたのは線分\text{CE}の長さです。この長さを知るために直角三角形\text{OCE}を考えます。
\text{O}の半径を1とすると、\text{OC}=1です。点\text{E}\text{OB}の中点なので\text{OE}=\dfrac{1}{2}となります。三平方の定理より
\begin{align*}\text{CE}^2&=\text{OC}^2+\text{OE}^2\\[0.5em]&=1^2+\left(\frac{1}{2}\right)^2\\[0.5em]&=\frac{5}{4}\\[0.5em]\therefore \text{CE}&=\frac{\sqrt{5}}{2}&(\because \text{CE}>0)\end{align*}
となります。

(√5-1)/2
 次に手順5. で半径としたのは線分\text{CF}の長さです。さきほどと同様に直角三角形\text{OCF}を考えます。
前述の通り\text{OC}=1です。図形\text{CFE}はおうぎ形で\text{CE}=\text{FE}=\dfrac{\sqrt{5}}{2}です。
また、\text{OE}=\dfrac{1}{2}なので
\begin{align*}\text{OF}&=\text{FE-OE}\\[0.5em]&=\frac{\sqrt{5}-1}{2}\end{align*}
となります。さらに、三平方の定理より
\begin{align*}\text{CF}^2&=\text{OC}^2+\text{OE}^2\\[0.5em]&=1^2+\left(\frac{\sqrt{5}-1}{2}\right)^2\\[0.5em]&=1-\frac{6-2\sqrt{5}}{4}\\[0.5em]&=\frac{10-2\sqrt{5}}{4}\\[0.5em]\therefore \text{CF}&=\frac{\sqrt{10-2\sqrt{5}}}{2}&(\because \text{CF}>0)\end{align*}
となります。

\text{CF}の長さを元に正五角形の辺となる線分を引くことになるので、これが正五角形の1辺の長さとなります。

 円に内接・外接する正五角形の周の長さと円周率の関係で求めた半径1の円に内接する正五角形の1辺の長さも\dfrac{\sqrt{10-2\sqrt{5}}}{2}なので、作図されたのは確かに正五角形であることがわかります。

参考鈴木進吾 他(編)、、「学研版 算数おもしろ大事典」、株式会社学習研究社

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