正五角形の作図法 ~ 数学について考えてみる

2021年10月31日

正五角形の作図法

PLUMBAGO

　正五角形は以下のように定規とコンパスを使って作図します。

正五角形の作図法

1.

円

O

$\text{O}$ を描き。直径

$\text{AB}$ を引きます。

2.

点

$\text{A, B}$ それぞれを中心とする半径が等しい円弧を描き、直径

$\text{AB}$ に垂直な直径

$\text{CD}$ を作図します。

3.

円

$\text{O}$ と等しい半径の円弧を点

$\text{B}$ を中心として描き、半径

$\text{OB}$ の中点

$\text{E}$ を作図します。

4.

線分

$\text{CE}$ に等しい長さを半径とする円弧を点

$\text{E}$ を中心として描き、直径

$\text{AB}$ との交点

$\text{F}$ を作図します。

5.

線分

$\text{CF}$ に等しい長さを半径とする円弧を点

$\text{C}$ を中心として描き、円

$\text{O}$ との交点

$\text{G, H}$ を作図します。

線分

$\text{CG, CH}$ を引くとこれらが正五角形の辺となります。

6.

線分

$\text{CF}$ に等しい長さを半径とする円弧を点

$\text{G, H}$ それぞれを中心として引き、円

$\text{O}$ との交点

$\text{I, J}$ をとり、線分

$\text{GI, HJ, IJ}$ を引きます。

7.

これで正五角形の作図ができました。この正五角形は円に内接する正五角形でもあります。

本当に正五角形か？

　本当に正五角形であるのかを手順4.、5.で作図に使用している長さを調べてみます。

　手順4. で半径としたのは線分

$\text{CE}$ の長さです。この長さを知るために直角三角形

$\text{OCE}$ を考えます。
円

$\text{O}$ の半径を

$1$ とすると、

$\text{OC}=1$ です。点

$\text{E}$ は

$\text{OB}$ の中点なので

$\text{OE}=\dfrac{1}{2}$ となります。三平方の定理より

$\begin{align*}\text{CE}^2&=\text{OC}^2+\text{OE}^2\\[0.5em]&=1^2+\left(\frac{1}{2}\right)^2\\[0.5em]&=\frac{5}{4}\\[0.5em]\therefore \text{CE}&=\frac{\sqrt{5}}{2}&(\because \text{CE}>0)\end{align*}$

となります。

　次に手順5. で半径としたのは線分

$\text{CF}$ の長さです。さきほどと同様に直角三角形

$\text{OCF}$ を考えます。
前述の通り

$\text{OC}=1$ です。図形

$\text{CFE}$ はおうぎ形で

$\text{CE}=\text{FE}=\dfrac{\sqrt{5}}{2}$ です。

また、

$\text{OE}=\dfrac{1}{2}$ なので

$\begin{align*}\text{OF}&=\text{FE-OE}\\[0.5em]&=\frac{\sqrt{5}-1}{2}\end{align*}$

となります。さらに、三平方の定理より

$\begin{align*}\text{CF}^2&=\text{OC}^2+\text{OE}^2\\[0.5em]&=1^2+\left(\frac{\sqrt{5}-1}{2}\right)^2\\[0.5em]&=1-\frac{6-2\sqrt{5}}{4}\\[0.5em]&=\frac{10-2\sqrt{5}}{4}\\[0.5em]\therefore \text{CF}&=\frac{\sqrt{10-2\sqrt{5}}}{2}&(\because \text{CF}>0)\end{align*}$

となります。

$\text{CF}$ の長さを元に正五角形の辺となる線分を引くことになるので、これが正五角形の1辺の長さとなります。

　円に内接・外接する正五角形の周の長さと円周率の関係で求めた半径

$1$ の円に内接する正五角形の1辺の長さも