正五角形の作図法

　正五角形は以下のように作図します。

正五角形の作図法

1.

円$O$を描き。直径$AB$を引きます。

2.

点$A,B$それぞれを中心とする半径が等しい円弧を描き、直径$AB$に垂直な直径$CD$を作図します。

3.

円$O$と等しい半径の円弧を点$B$を中心として描き、半径$OB$の中点$E$を作図します。

4.

線分$CE$に等しい長さを半径とする円弧を点$E$を中心として描き、直径$AB$との交点$F$を作図します。

5.

線分$CF$に等しい長さを半径とする円弧を点$C$を中心として描き、円$O$との交点$G,H$を作図します。

線分$CG,CH$を引くとこれらが正五角形の辺となります。

6.

線分$CF$に等しい長さを半径とする円弧を点$G,H$それぞれを中心として引き、円$O$との交点$I,J$をとり、線分$GI,HJ,IJ$を引きます。

7.

これで正五角形の作図ができました。この正五角形は円に内接する正五角形でもあります。

本当に正五角形か？

　本当に正五角形であるのかを手順4.、5.で作図に使用している長さを調べてみます。

　手順4. で半径としたのは線分$CE$の長さです。この長さを知るために直角三角形$OCE$を考えます。
円$O$の半径を$1$とすると、$OC=1$です。点$E$は$OB$の中点なので$OE=\dfrac{1}{2}$となります。三平方の定理より

\begin{align*}CE^2&=OC^2+OE^2\\[0.5em]&=1^2+\left(\frac{1}{2}\right)^2\\[0.5em]&=\frac{5}{4}\\[0.5em]\therefore CE&=\frac{\sqrt{5}}{2}&(\because CE>0)\end{align*}

となります。

　次に手順5. で半径としたのは線分$CF$の長さです。さきほどと同様に直角三角形$OCF$を考えます。
前述の通り$OC=1$です。図形$CFE$はおうぎ形で$CE=FE=\dfrac{\sqrt{5}}{2}$です。

また、$OE=\dfrac{1}{2}$なので

\begin{align*}OF&=FE-OE\\[0.5em]&=\frac{\sqrt{5}-1}{2}\end{align*}

となります。さらに、三平方の定理より

\begin{align*}CF^2&=OC^2+OE^2\\[0.5em]&=1^2+\left(\frac{\sqrt{5}-1}{2}\right)^2\\[0.5em]&=1-\frac{6-2\sqrt{5}}{4}\\[0.5em]&=\frac{10-2\sqrt{5}}{4}\\[0.5em]\therefore CF&=\frac{\sqrt{10-2\sqrt{5}}}{2}&(\because CF>0)\end{align*}

となります。

$CF$の長さを元に正五角形の辺となる線分を引くことになるので、これが正五角形の1辺の長さとなります。

　円に内接・外接する正五角形の周の長さと円周率の関係で求めた半径$1$の円に内接する正五角形の1辺の長さも$\dfrac{\sqrt{10-2\sqrt{5}}}{2}$なので、作図されたのは確かに正五角形であることがわかります。

参考：鈴木進吾 他（編）、2003、「学研版 算数おもしろ大事典」、株式会社学習研究社

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