正五角形の作図法 ~ 数学について考えてみる

2021年10月31日

正五角形の作図法

PLUMBAGO

　正五角形は以下のように定規とコンパスを使って作図します。

正五角形の作図法

1.

円

O

$\text{O}$ を描き。直径

AB

$\text{AB}$ を引きます。

2.

点

A, B

$\text{A, B}$ それぞれを中心とする半径が等しい円弧を描き、直径

AB

$\text{AB}$ に垂直な直径

CD

$\text{CD}$ を作図します。

3.

円

O

$\text{O}$ と等しい半径の円弧を点

B

$\text{B}$ を中心として描き、半径

OB

$\text{OB}$ の中点

E

$\text{E}$ を作図します。

4.

線分

CE

$\text{CE}$ に等しい長さを半径とする円弧を点

E

$\text{E}$ を中心として描き、直径

AB

$\text{AB}$ との交点

F

$\text{F}$ を作図します。

5.

線分

CF

$\text{CF}$ に等しい長さを半径とする円弧を点

C

$\text{C}$ を中心として描き、円

O

$\text{O}$ との交点

G, H

$\text{G, H}$ を作図します。

線分

CG, CH

$\text{CG, CH}$ を引くとこれらが正五角形の辺となります。

6.

線分

CF

$\text{CF}$ に等しい長さを半径とする円弧を点

G, H

$\text{G, H}$ それぞれを中心として引き、円

O

$\text{O}$ との交点

I, J

$\text{I, J}$ をとり、線分

GI, HJ, IJ

$\text{GI, HJ, IJ}$ を引きます。

7.

これで正五角形の作図ができました。この正五角形は円に内接する正五角形でもあります。

本当に正五角形か？

　本当に正五角形であるのかを手順4.、5.で作図に使用している長さを調べてみます。

　手順4. で半径としたのは線分

CE

$\text{CE}$ の長さです。この長さを知るために直角三角形

OCE

$\text{OCE}$ を考えます。
円

O

$\text{O}$ の半径を

1

$1$ とすると、

OC = 1

$\text{OC}=1$ です。点

E

$\text{E}$ は

OB

$\text{OB}$ の中点なので

OE = \frac{1}{2}

$\text{OE}=\dfrac{1}{2}$ となります。三平方の定理より

\begin{matrix} {CE}^{2} & = {OC}^{2} + {OE}^{2} = 1^{2} + {(\frac{1}{2})}^{2} = \frac{5}{4} ∴ CE & = \frac{\sqrt{5}}{2} & (∵ CE > 0) \end{matrix}

$\begin{align*}\text{CE}^2&=\text{OC}^2+\text{OE}^2\\[0.5em]&=1^2+\left(\frac{1}{2}\right)^2\\[0.5em]&=\frac{5}{4}\\[0.5em]\therefore \text{CE}&=\frac{\sqrt{5}}{2}&(\because \text{CE}>0)\end{align*}$

となります。

　次に手順5. で半径としたのは線分

CF

$\text{CF}$ の長さです。さきほどと同様に直角三角形

OCF

$\text{OCF}$ を考えます。
前述の通り

OC = 1

$\text{OC}=1$ です。図形

CFE

$\text{CFE}$ はおうぎ形で

CE = FE = \frac{\sqrt{5}}{2}

$\text{CE}=\text{FE}=\dfrac{\sqrt{5}}{2}$ です。

また、

OE = \frac{1}{2}

$\text{OE}=\dfrac{1}{2}$ なので

\begin{matrix} OF & = FE-OE = \frac{\sqrt{5} - 1}{2} \end{matrix}

$\begin{align*}\text{OF}&=\text{FE-OE}\\[0.5em]&=\frac{\sqrt{5}-1}{2}\end{align*}$

となります。さらに、三平方の定理より

\begin{matrix} {CF}^{2} & = {OC}^{2} + {OE}^{2} = 1^{2} + {(\frac{\sqrt{5} - 1}{2})}^{2} = 1 - \frac{6 - 2 \sqrt{5}}{4} = \frac{10 - 2 \sqrt{5}}{4} ∴ CF & = \frac{\sqrt{10 - 2 \sqrt{5}}}{2} & (∵ CF > 0) \end{matrix}

$\begin{align*}\text{CF}^2&=\text{OC}^2+\text{OE}^2\\[0.5em]&=1^2+\left(\frac{\sqrt{5}-1}{2}\right)^2\\[0.5em]&=1-\frac{6-2\sqrt{5}}{4}\\[0.5em]&=\frac{10-2\sqrt{5}}{4}\\[0.5em]\therefore \text{CF}&=\frac{\sqrt{10-2\sqrt{5}}}{2}&(\because \text{CF}>0)\end{align*}$

となります。

$\text{CF}$ の長さを元に正五角形の辺となる線分を引くことになるので、これが正五角形の1辺の長さとなります。

　円に内接・外接する正五角形の周の長さと円周率の関係で求めた半径