ひし形は4辺の長さが等しいので
\begin{equation}\text{AB}=\text{CD}\end{equation}
ひし形は平行四辺形の1つであるから、対辺は平行なので
\[\text{AB}//\text{CD}\]
平行な2辺の錯角は等しいので
\begin{align}∠\text{OAB}&=∠\text{OCD}\\[0.5em]∠\text{OBA}&=∠\text{ODC}\end{align}
$(1), (2), (3)$より、1辺の長さとその両端の2組の角がそれぞれ等しいので$△\text{OAB}$と$△\text{OCD}$は合同である。
したがって、
\begin{align}\text{OA}&=\text{OC}\\[0.5em]\text{OB}&=\text{OD}\end{align}
ひし形は4辺の長さが等しいので$(1)$とあわせて
\begin{align}\text{AB}=\text{BC}=\text{CD}=\text{DA}\end{align}
$(4), (5), (6)$より、3組の辺の長さがそれぞれ等しいので$△\text{OAB, }△\text{OBC, }△\text{OCD, }△\text{ODA}$は合同である。
したがって、
\begin{equation}∠\text{AOB}=∠\text{BOC}=∠\text{COD}=∠\text{DOA}\end{equation}
また、
\begin{equation}∠\text{AOB}+∠\text{BOC}+∠\text{COD}+∠\text{DOA}=360°\end{equation}
$(7), (8)$より、
\begin{equation}∠\text{AOB}=∠\text{BOC}=∠\text{COD}=∠\text{DOA}=90°\end{equation}
$(4), (9)$より、対角線$\text{AC, BD}$はそれぞれ交点$\text{O}$で2等分され、かつ直交しているため、ひし形の対角線は互いの垂直二等分線となる。
Share:
