ひし形の対角線が互いの垂直二等分線であることの証明

　ひし形$\text{ABCD}$の対角線$\text{AC, BD}$を引き、その交点を$\text{O}$とする。

　$△\text{OAB}$と$△\text{OCD}$について考える。

ひし形は4辺の長さが等しいので

$$\begin{equation}\text{AB}=\text{CD}\end{equation}$$

ひし形は平行四辺形の1つであるから、対辺は平行なので

$$\text{AB}//\text{CD}$$

平行な2辺の錯角は等しいので

$$\begin{align}∠\text{OAB}&=∠\text{OCD}\\[0.5em]∠\text{OBA}&=∠\text{ODC}\end{align}$$

$(1), (2), (3)$より、1辺の長さとその両端の2組の角がそれぞれ等しいので$△\text{OAB}$と$△\text{OCD}$は合同である。

したがって、

$$\begin{align}\text{OA}&=\text{OC}\\[0.5em]\text{OB}&=\text{OD}\end{align}$$

　ここで、さらに$△\text{OBC}$と$△\text{ODA}$についても考える。

ひし形は4辺の長さが等しいので$(1)$とあわせて

$$\begin{align}\text{AB}=\text{BC}=\text{CD}=\text{DA}\end{align}$$

$(4), (5), (6)$より、3組の辺の長さがそれぞれ等しいので$△\text{OAB, }△\text{OBC, }△\text{OCD, }△\text{ODA}$は合同である。

したがって、

$$\begin{equation}∠\text{AOB}=∠\text{BOC}=∠\text{COD}=∠\text{DOA}\end{equation}$$

また、

$$\begin{equation}∠\text{AOB}+∠\text{BOC}+∠\text{COD}+∠\text{DOA}=360°\end{equation}$$

$(7), (8)$より、

$$\begin{equation}∠\text{AOB}=∠\text{BOC}=∠\text{COD}=∠\text{DOA}=90°\end{equation}$$

$(4), (9)$より、対角線$\text{AC, BD}$はそれぞれ交点$\text{O}$で2等分され、かつ直交しているため、ひし形の対角線は互いの垂直二等分線となる。

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