- ひし形の対角線は互いの中点で直角に交わる。
- ひし形の対角線はそれぞれの両端の頂点の内角を二等分する。
なぜこのようなことがいえるのでしょうか？
.png)
\begin{equation}\text{AB}=\text{BC}=\text{CD}=\text{DA}\end{equation}
が成り立ちます。
また、対角線$\text{AC}, \text{BD}$の交点を$\text{E}$とします。
対角線は互いの中点で直角に交わる
.png)
\begin{equation}\text{AE}=\text{CE}, \text{BE}=\text{DE}\end{equation}
が成り立ちます。
したがって、対角線$\text{AC}$と$\text{BD}$が直角に交わるかを調べればよいことがわかります。
.png)
- 共通の辺より$\text{BE}=\text{BE}$
- $(1)$より$\text{AB}=\text{CB}$
- $(2)$より$\text{AE}=\text{CE}$
このことより、$∠\text{AEB}=∠\text{CEB}$です。
.png)
\[\angle \text{AEB}+\angle \text{CEB}=\angle \text{AEC}=180°\]
であり、$∠\text{AEB}=∠\text{CEB}$より
\begin{align*}\angle \text{AEB}+\angle
\text{AEB}&=180°\\[0.5em]2\angle \text{AEB}&=180°\\[0.5em]\angle
\text{AEB}&=90°\end{align*}
となることがわかります。
よって、ひし形の対角線は互いの中点で直角に交わります。
対角線は両端の頂点の内角を二等分する
.png)
- 共通の辺より$\text{AC}=\text{AC}$
- $(1)$より$\text{AB}=\text{AD}$
- 同様に$(1)$より$\text{BC}=\text{DC}$
このことより、$∠\text{BAC}=∠\text{DAC}, ∠\text{BCA}=∠\text{DCA}$です。
.png)
\[\angle \text{BAD}=\angle \text{BAC}+\angle \text{DAC}\]
であり、$∠\text{BAC}=∠\text{DAC}$より
\begin{align*}\angle \text{BAD}&=\angle \text{BAC}+\angle
\text{BAC}\\[0.5em]&=2\angle \text{BAC}\\[0.5em]\angle
\text{BAC}&=\frac{\angle \text{BAD}}{2}\\[0.5em]\therefore \angle
\text{BAC}=\angle \text{DAC}&=\frac{\angle
\text{BAD}}{2}\end{align*}
となり、対角線$\text{AC}$は内角$∠\text{BAD}$を二等分することがわかります。
同様に、$∠\text{BCA},
∠\text{DCA}$は内角$∠\text{BCD}$を対角線$\text{AC}$によって分割してできた角なので、対角線$\text{AC}$は内角$∠\text{BCD}$を二等分することがわかります。
したがって、対角線$\text{AC}$はその両端の頂点の内角$∠\text{BAD}, ∠\text{BCD}$を二等分することがわかります。
.png)
- 共通の辺より$\text{BD}=\text{BD}$
- $(1)$より$\text{AB}=\text{CB}$
- 同様に$(1)$より$\text{AD}=\text{CD}$
このことより、$∠\text{ABD}=∠\text{CBD}, ∠\text{ADB}=∠\text{CDB}$です。
$∠\text{ABD}, ∠\text{CBD}$は内角$∠\text{ABC}$を対角線$\text{BD}$によって分割してできた角、$∠\text{ADB}, ∠\text{CDB}$は内角$∠\text{ADC}$を対角線$\text{BD}$によって分割してできた角なので、対角線$\text{BD}$はその両端の頂点の内角$∠\text{ABC}, ∠\text{ADC}$を二等分することがわかります。
以上より、ひし形の対角線はそれぞれの両端の頂点の内角を二等分することがわかります。
(2026/8)内容を変更しました。
Share:
