△OABと△OCDについて考える。
ひし形は4辺の長さが等しいので
\begin{equation}AB=CD\end{equation}
ひし形は平行四辺形の1つであるから、対辺は平行なので
\[AB//CD\]
平行な2辺の錯角は等しいので
\begin{align}∠ OAB&=∠ OCD\\ ∠ OBA&=∠ ODC\end{align}
(1), (2), (3)より、1辺の長さとその両端の2組の角が等しいので△OABと△OCDは合同である。
したがって、
\begin{align}OA&=OC\\ OB&=OD\end{align}
ひし形は4辺の長さが等しいので(1)とあわせて
\begin{align}AB=BC=CD=DA\end{align}
(4), (5), (6)より、3組の辺の長さが等しいので△OAB、△OBC、△OCD、△ODAは合同である。
したがって、
\begin{equation}∠ AOB=∠ BOC=∠ COD=∠ DOA\end{equation}
また、
\begin{equation}∠ AOB+∠ BOC+∠ COD+∠ DOA=360°\end{equation}
(7), (8)より、
\begin{equation}∠ AOB=∠ BOC=∠ COD=∠ DOA=90°\end{equation}
(4), (9)より、対角線AC, BDはそれぞれ交点Oで2等分され、かつ直交しているため、ひし形の対角線は互いの垂直二等分線となる。
関連：ひし形の対角線がひし形の内角の二等分線であることを確かめてみる
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