ひし形は4辺の長さが等しいので
\begin{equation}AB=CD\end{equation}
ひし形は平行四辺形の1つであるから、対辺は平行なので
\[AB//CD\]
平行な2辺の錯角は等しいので
\begin{align}∠OAB&=∠OCD\\[0.5em]∠OBA&=∠ODC\end{align}
$(1),(2),(3)$より、1辺の長さとその両端の2組の角がそれぞれ等しいので$△OAB$と$△OCD$は合同である。
したがって、
\begin{align}OA&=OC\\[0.5em]OB&=OD\end{align}
ひし形は4辺の長さが等しいので$(1)$とあわせて
\begin{align}AB=BC=CD=DA\end{align}
$(4),(5),(6)$より、3組の辺の長さがそれぞれ等しいので$△OAB,△OBC,△OCD,△ODA$は合同である。
したがって、
\begin{equation}∠AOB=∠BOC=∠COD=∠DOA\end{equation}
また、
\begin{equation}∠AOB+∠BOC+∠COD+∠DOA=360°\end{equation}
$(7),(8)$より、
\begin{equation}∠AOB=∠BOC=∠COD=∠DOA=90°\end{equation}
$(4),(9)$より、対角線$AC,BD$はそれぞれ交点$O$で2等分され、かつ直交しているため、ひし形の対角線は互いの垂直二等分線となる。
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