円や半円が入った正方形を使った問題

図1　円や半円が入った正方形

「図1のように円や半円が入っている正方形がある。円と半円の半径が1のとき、この正方形の中の小さい正方形の1辺の長さを求めよ。」

図2　正方形の1部を切り取る

　正方形の中の円と半円の半分を含む長方形部分を切り取って、長方形の長辺の長さを求めます。

円と扇形の中心を結ぶ線分と円の中心を通る長辺に対する垂線を引くと図2のように長辺の長さは円の半径と直角三角形の長辺の和となることがわかります。
円と扇形の中心を結ぶ線分を斜辺とする直角三角形の長辺の長さを$a$とすると、三平方の定理より

\begin{align*}2^2&=1^2+a^2\\[0.5em]4&=1+a^2\\ a^2&=3\\[0.5em]a&=\sqrt{3}&(\because a>0)\end{align*}

したがって、長方形の長辺の長さは$1+\sqrt{3}$となります。これは外側の正方形の1辺の長さの半分なので、大きい正方形の1辺の長さは$2+2\sqrt{3}$となります。

図3　2つの正方形の辺の距離

　次に大きい正方形の辺と小さい正方形の辺の距離を調べると、半円の半径2つ分、つまり円の直径である$2$であることがわかるので、小さい正方形の1辺の長さは大きい正方形の1辺の長さより$4$小さいことがわかります。

したがって、

\[(2+2\sqrt{3})-4=\underline{2\sqrt{3}-2}\]

が小さい正方形の1辺の長さとなります。