円に内接・外接する正五角形の周の長さを求めて、円周率との関係を調べてみます。
円に内接する正五角形
半径11の円に内接する正五角形を考えます。円周の長さは2π2πです。
円の中心と正五角形の頂点を線で結ぶと5つの合同な二等辺三角形ができます。
二等辺三角形の等辺の長さは11で、頂角は72°72°です。
円の中心と正五角形の頂点を線で結ぶと5つの合同な二等辺三角形ができます。
二等辺三角形の等辺の長さは11で、頂角は72°72°です。
底辺の長さをl5il5iとして、余弦定理をもちいて求めると
l5i2=12+12−2⋅1⋅1⋅cos72°=2−2cos72°l5i2=12+12−2⋅1⋅1⋅cos72°=2−2cos72°
「sin72°,cos72°,tan72°sin72°,cos72°,tan72°はどんな数?」よりcos72°=√5−14cos72°=√5−14であるから
l5i2=2−2⋅√5−14=2−√5−12=5−√52l5i=√5−√52(∵l5i>0)=√10−2√52
l5iは正五角形の1辺の長さでもあるので、正五角形の周の長さL5iは
L5i=5l5i=5⋅√10−2√52=5√10−2√52
円に内接する正五角形の周の長さは円周より短いので
2π>5√10−2√52π>5√10−2√54≒2.94
となります。すなわち、円周率πは5√10−2√54(およそ2.94)より大きいことがわかります。
円に外接する正五角形
底辺の長さをl5oとし、これを求めます。
底辺の垂直二等分線で二等辺三角形を分割した直角三角形を考えると、これは36°−54°−90°の直角三角形となります。斜辺以外の辺の長さがl5o2と1なので、36°の内角に着目すると三角比より
底辺の垂直二等分線で二等辺三角形を分割した直角三角形を考えると、これは36°−54°−90°の直角三角形となります。斜辺以外の辺の長さがl5o2と1なので、36°の内角に着目すると三角比より
tan36°=l5o21=l5o2∴l5o=2tan36°
となります。
「sin36°がどんな数になるかを求めてみよう」よりtan36°=√5−2√5 なので
l5o=2√5−2√5
l5oは正五角形の1辺の長さでもあるので、正五角形の周の長さL5oは
L5o=5l5o=5⋅2√5−2√5=10√5−2√5
となります。
円に外接する正五角形の周の長さは円周より長いので
2π<10√5−2√5π<5√5−2√5≒3.63
となります。すなわち、円周率πは5√5−2√5(およそ3.63)より小さいことがわかります。
以上より、円周と円に内接・外接する正五角形の周の長さを比較することで円周率πの取りうる値の範囲を調べると5√10−2√54<π<5√5−2√5(およそ2.94<π<3.63)となることがわかります。
(2024/6)内容を修正しました。
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