円に内接する正五角形
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| 図1 円に内接する正五角形 |
半径$1$の円に内接する正五角形を考えます。円周の長さは$2\pi$です。
円の中心と正五角形の頂点を線で結ぶと5つの合同な二等辺三角形ができます。
二等辺三角形の等辺の長さは1で、頂角は72°です。
底辺の長さを$l_{5i}$として、余弦定理をもちいて求めると
\begin{align*}{l_{5i}}^2&=1^2+1^2-2\cdot 1\cdot 1\cdot\cos72°\\
&=2-2\cos72°\end{align*}
以前の記事より、$\cos72°=\frac{\sqrt{5}-1}{4}$であるから、
\begin{align*}{l_{5i}}^2&=2-2\cdot\frac{\sqrt{5}-1}{4}\\
&=2-\frac{\sqrt{5}-1}{2}\\ &=\frac{5-\sqrt{5}}{2}\\
l_{5i}&=\sqrt{\frac{5-\sqrt{5}}{2}}\qquad(l_{5i}>0)\\
&=\frac{\sqrt{10-2\sqrt{5}}}{2}\end{align*}
$l_{5i}$は正五角形の1辺の長さでもあるので周の長さ$L_{5i}$は
\begin{align*}L_{5i}&=5l_{5i}\\
&=5\cdot\frac{\sqrt{10-2\sqrt{5}}}{2}\\
&=\frac{5\sqrt{10-2\sqrt{5}}}{2}≒5.88\end{align*}
したがって、円に内接する正五角形の周の長さと円周の関係は
\begin{align*}2\pi:\frac{5\sqrt{10-2\sqrt{5}}}{2}&=\pi:\frac{5\sqrt{10-2\sqrt{5}}}{4}\\
&≒\pi:2.94\end{align*}
となります。また、円に内接する正五角形の周の長さは円周より短いので$\pi>2.94$となることがわかります。
円に外接する正五角形
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| 図2 円に外接する正五角形 |
半径$1$の円に外接する正五角形を考えます。円周は$2\pi$です。
円の中心と正五角形の頂点を線で結ぶと5つの合同な二等辺三角形ができます。
二等辺三角形の頂角の大きさは$72°$、高さは$1$です。
底辺の長さを$l_{5o}$とし、これを求めます。
底辺の垂直二等分線で分割した直角三角形を考えると、短辺が$\frac{l_{5o}}{2}$、長辺が$1$、長辺側の角が$36°$となるので、三角比より
\[\tan36°=\frac{\frac{l_{5o}}{2}}{1}=\frac{l_{5o}}{2}\]
すなわち、
\[l_{5o}=2\tan36°\]
となります。以前の記事より$\tan36°$は
\[\tan36°=\sqrt{5-2\sqrt{5}}\]
なので
\[l_{5o}=2\sqrt{5-2\sqrt{5}}\]
$l_{5o}$は正五角形の1辺の長さでもあるので、周の長さ$L_{5o}$は
\begin{align*}L_{5o}&=5l_{5o}\\ &=5\cdot2\sqrt{5-2\sqrt{5}}\\
&=10\sqrt{5-2\sqrt{5}}≒ 7.27\end{align*}
となります。
したがって、円に外接する正五角形の周の長さと円周の関係は
\begin{align*}2\pi:10\sqrt{5-2\sqrt{5}}&=\pi:5\sqrt{5-2\sqrt{5}}\\
&≒\pi:3.63\end{align*}
となります。また、円に外接する正五角形の周の長さは円周より長いので$\pi<3.63$となります。
以上より、円に内接・外接する正五角形の周の長さを利用して円周率$\pi$の取りうる値の範囲を調べると$2.94<\pi<3.63$となることがわかりました。
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