楽天ポイント利息の年利を計算してみる（単利と複利） ~ 数学について考えてみる

2021年10月24日

楽天ポイント利息の年利を計算してみる（単利と複利）

PLUMBAGO

　楽天ポイント利息という楽天ポイントを預けておくだけで安定してポイントが増えていくサービスがあります。月利は0.009%とありますが、年利は0.1%以上と具体的には書かれていません。なので、年利で考えたとき具体的にどのくらいになるのかを計算してみます。

　そのためにはまず利息の計算方法が単利であるか複利であるかを調べなくてはなりません。単利と複利の説明は以下の通り。

単利

　単利とは、最初に追加した元本を元に利息の計算をおこないます。元本が変わらなければ利息も変わることはありません。計算式は

利息 = 元本 \times 利率

$\textbf{利息}=\textbf{元本}×\textbf{利率}$

となります。

両辺に元本を足すと

元本 + 利息 = 元本 \times (1 + 利率)

$\textbf{元本}+\textbf{利息}=\textbf{元本}×(1+\textbf{利率})$

となり、1回目の利息追加後の金額を知ることができます。

2回目は、利息の計算は元本にのみ利率を掛けるので

\begin{aligned} 2回目の利息追加後の金額 & = 元本 \times (1 + 利率) + 利息 \\ = 元本 \times (1 + 利率) + 元本 \times 利率 \\ = 元本 \times (1 + 2 \times 利率) \end{aligned}

$\begin{align*}\textbf{2回目の利息追加後の金額}&=\textbf{元本}×(1+\textbf{利率})+\textbf{利息}\\ &=\textbf{元本}×(1+\textbf{利率})+\textbf{元本}×\textbf{利率}\\ &=\textbf{元本}×(1+2×\textbf{利率})\end{align*}$

3回目は

\begin{aligned} 3回目の利息追加後の金額 & = 元本 \times (1 + 利率) + 2 \times 利息 \\ = 元本 + 3 \times 利息 \\ = 元本 \times (1 + 3 \times 利率) \end{aligned}

$\begin{align*}\textbf{3回目の利息追加後の金額}&=\textbf{元本}×(1+\textbf{利率})+2×\textbf{利息}\\ &=\textbf{元本}+3×\textbf{利息}\\ &=\textbf{元本}×(1+3×\textbf{利率})\end{align*}$

したがって、利息の追加回数を

n

$n$ とすると

\begin{matrix} (1) & n回目の利息追加後の金額 = 元本 \times (1 + n \times 利率) \end{matrix}

$\begin{equation}\textbf{n回目の利息追加後の金額}=\textbf{元本}×(1+n×\textbf{利率})\end{equation}$

となります。月利であれば

n

$n$ ヶ月後の金額、年利であれば

n

$n$ 年後の金額となります。

複利

　複利は、元本とこれまでに追加された利息の合計額を元に利息の計算をおこないます。なので、利息が追加されるたびに次の利息が増えていきます。計算式は

利息 = 元本と利息の合計額 \times 利率

$\textbf{利息}=\textbf{元本と利息の合計額}×\textbf{利率}$

となります。

最初の利息追加後の金額は単利と同じで

元本 + 利息 = 元本 \times (1 + 利率)

$\textbf{元本}+\textbf{利息}=\textbf{元本}×(1+\textbf{利率})$

ですが、2回目の利息追加後の金額は

\begin{aligned} 2回目の利息追加後の金額 & = (元本 + 利息) (1 + 利率) \\ = 元本 \times (1 + 利率) (1 + 利率) \\ = 元本 \times (1 + 利率)^{2} \end{aligned}

$\begin{align*}\textbf{2回目の利息追加後の金額}&=(\textbf{元本}+\textbf{利息})(1+\textbf{利率})\\ &=\textbf{元本}×(1+\textbf{利率})(1+\textbf{利率})\\ &=\textbf{元本}×(1+\textbf{利率})\ ^2\end{align*}$

3回目は

\begin{aligned} 3回目の利息追加後の金額 & = 2回目の利息追加後の金額 \times (1 + 利率) \\ = 元本 \times (1 + 利率)^{2} (1 + 利率) \\ = 元本 \times (1 + 利率)^{3} \end{aligned}

$\begin{align*}\textbf{3回目の利息追加後の金額}&=\textbf{2回目の利息追加後の金額}×(1+\textbf{利率})\\ &=\textbf{元本}×(1+\textbf{利率})\ ^2(1+\textbf{利率})\\ &=\textbf{元本}×(1+\textbf{利率})\ ^3\end{align*}$

したがって、利息の追加回数を