sin18°、cos18°、tan18°はどんな数？ ~ 数学について考えてみる

2021年10月16日

sin18°、cos18°、tan18°はどんな数？

PLUMBAGO

　「 $\sin72°,\cos72°,\tan72°$ はどんな数？」で $72°$ のときの三角関数について調べたので、それを利用して $18°\ (＝\dfrac{\pi}{10})$ のときの三角関数について調べてみます。

$\sin18°$

\sin

$\sin$ の加法定理を利用して

\begin{aligned} \sin 18 ° & = \sin (90 ° - 72 °) \\ = \sin 90 ° \cos 72 ° - \cos 90 ° \sin 72 ° \end{aligned}

$\begin{align*}\sin18°&=\sin(90°-72°)\\[0.5em]&=\sin90°\cos72°-\cos90°\sin72°\end{align*}$

ここで

\begin{aligned} (1) & \sin 90 ° & = 1 \\ (2) & \cos 90 ° & = 0 \\ (3) & \sin 72 ° & = \frac{\sqrt{10 + 2 \sqrt{5}}}{4} \\ (4) & \cos 72 ° & = \frac{\sqrt{5} - 1}{4} \end{aligned}

$\begin{align}\sin90°&=1\\[0.5em]\cos90°&=0\\[1em]\sin72°&=\frac{\sqrt{10+2\sqrt{5}}}{4}\\[0.5em]\cos72°&=\frac{\sqrt{5}-1}{4}\end{align}$

なので、

\underline{\sin 18 ° = \frac{\sqrt{5} - 1}{4}}

$\underline{\sin18°=\frac{\sqrt{5}-1}{4}}$

$\cos18°$

\cos

$\cos$ の加法定理を利用して

\begin{aligned} \cos 18 ° & = \cos (90 ° - 72 °) \\ = \cos 90 ° \cos 72 ° + \sin 90 ° \sin 72 ° \end{aligned}

$\begin{align*}\cos18°&=\cos(90°-72°)\\[0.5em]&=\cos90°\cos72°+\sin90°\sin72°\end{align*}$

(1), (2), (3), (4)

$(1), (2), (3), (4)$ より

\underline{\cos 18 ° = \frac{\sqrt{10 + 2 \sqrt{5}}}{4}}

$\underline{\cos18°=\frac{\sqrt{10+2\sqrt{5}}}{4}}$

$\tan18°$

　三角関数の相互関係

\tan θ = \frac{\sin θ}{\cos θ}

$\tan\theta=\frac{\sin\theta}{\cos\theta}$

より

\begin{aligned} \tan 18 ° & = \frac{\sin 18 °}{\cos 18 °} \\ = \frac{\frac{\sqrt{5} - 1}{4}}{\frac{\sqrt{10 + 2 \sqrt{5}}}{4}} \\ = \frac{\sqrt{5} - 1}{\sqrt{10 + 2 \sqrt{5}}} \\ = \frac{(\sqrt{5} - 1) \sqrt{10 + 2 \sqrt{5}}}{10 + 2 \sqrt{5}} \\ = \frac{\sqrt{(\sqrt{5} - 1)^{2} (10 + 2 \sqrt{5})}}{10 + 2 \sqrt{5}} \cdot \frac{10 - 2 \sqrt{5}}{10 - 2 \sqrt{5}} \\ = \frac{\sqrt{(6 - 2 \sqrt{5}) (10 + 2 \sqrt{5}) (10 - 2 \sqrt{5})^{2}}}{80} \\ = \frac{\sqrt{6400 - 2560 \sqrt{5}}}{80} \\ = \frac{\sqrt{16^{2} (25 - 10 \sqrt{5})}}{80} \\ = \underline{\frac{\sqrt{25 - 10 \sqrt{5}}}{5}} \end{aligned}

$\begin{align*}\tan18°&=\frac{\sin18°}{\cos18°}\\[0.5em]&=\frac{\frac{\sqrt{5}-1}{4}}{\frac{\sqrt{10+2\sqrt{5}}}{4}}\\[0.5em]&=\frac{\sqrt{5}-1}{\sqrt{10+2\sqrt{5}}}\\[0.5em]&=\frac{(\sqrt{5}-1)\sqrt{10+2\sqrt{5}}}{10+2\sqrt{5}}\\[0.5em]&=\frac{\sqrt{(\sqrt{5}-1)^2(10+2\sqrt{5})}}{10+2\sqrt{5}}\cdot\frac{10-2\sqrt{5}}{10-2\sqrt{5}}\\[0.5em]&=\frac{\sqrt{(6-2\sqrt{5})(10+2\sqrt{5})(10-2\sqrt{5})^2}}{80}\\[0.5em]&=\frac{\sqrt{6400-2560\sqrt{5}}}{80}\\[0.5em]&=\frac{\sqrt{16^2(25-10\sqrt{5})}}{80}\\[0.5em]&=\underline{\frac{\sqrt{25-10\sqrt{5}}}{5}}\end{align*}$

　それぞれの近似値は以下のようになります。