「$\sin72°,\cos72°,\tan72°$はどんな数？」で$72°$のときの三角関数について調べたので、それを利用して$18°\ (＝\dfrac{\pi}{10})$のときの三角関数について調べてみます。
$\sin18°$
$\sin$の加法定理を利用して
\begin{align*}\sin18°&=\sin(90°-72°)\\[0.5em]&=\sin90°\cos72°-\cos90°\sin72°\end{align*}
ここで
\begin{align}\sin90°&=1\\[0.5em]\cos90°&=0\\[1em]\sin72°&=\frac{\sqrt{10+2\sqrt{5}}}{4}\\[0.5em]\cos72°&=\frac{\sqrt{5}-1}{4}\end{align}
なので、
\[\underline{\sin18°=\frac{\sqrt{5}-1}{4}}\]
$\cos18°$
$\cos$の加法定理を利用して
\begin{align*}\cos18°&=\cos(90°-72°)\\[0.5em]&=\cos90°\cos72°+\sin90°\sin72°\end{align*}
$(1), (2), (3), (4)$より
\[\underline{\cos18°=\frac{\sqrt{10+2\sqrt{5}}}{4}}\]
$\tan18°$
三角関数の相互関係
\[\tan\theta=\frac{\sin\theta}{\cos\theta}\]
より
\begin{align*}\tan18°&=\frac{\sin18°}{\cos18°}\\[0.5em]&=\frac{\frac{\sqrt{5}-1}{4}}{\frac{\sqrt{10+2\sqrt{5}}}{4}}\\[0.5em]&=\frac{\sqrt{5}-1}{\sqrt{10+2\sqrt{5}}}\\[0.5em]&=\frac{(\sqrt{5}-1)\sqrt{10+2\sqrt{5}}}{10+2\sqrt{5}}\\[0.5em]&=\frac{\sqrt{(\sqrt{5}-1)^2(10+2\sqrt{5})}}{10+2\sqrt{5}}\cdot\frac{10-2\sqrt{5}}{10-2\sqrt{5}}\\[0.5em]&=\frac{\sqrt{(6-2\sqrt{5})(10+2\sqrt{5})(10-2\sqrt{5})^2}}{80}\\[0.5em]&=\frac{\sqrt{6400-2560\sqrt{5}}}{80}\\[0.5em]&=\frac{\sqrt{16^2(25-10\sqrt{5})}}{80}\\[0.5em]&=\underline{\frac{\sqrt{25-10\sqrt{5}}}{5}}\end{align*}
それぞれの近似値は以下のようになります。
\begin{align*}\sin18°&=0.30902\\[1em]\cos18°&=0.95106\\[1em]\tan18°&=0.32492\end{align*}
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