平面座標から三角関数の合成の公式を導く

　三角関数の合成の公式を平面座標を利用して導いてみます。

その1

　平面上の2点$(a,b),(\cosθ,\sinθ)$を考えます。

原点$O$から点$(a,b)$までの距離を$r$、x軸の正の部分と原点$O$と点$(a,b)$を結ぶ線分の反時計回りになす角を$α$とおくと

$$\begin{gather*}r=\sqrt{a^2+b^2}\\[0.5em]\begin{cases}\cos\alpha=\dfrac{a}{\sqrt{a^2+b^2}}\\[0.5em]\sin\alpha=\dfrac{b}{\sqrt{a^2+b^2}}\end{cases}\end{gather*}$$

が成り立ち、また点$(a,b)$について

$$(a,b)=(r\cos\theta,r\sin\theta)$$

が成り立ちます。

関連：平面座標を三角関数をもちいて表す

2点$(a,b),(\cosθ,\sinθ)$間の距離を$l$とすると、その2乗は

$$\begin{align*}l^2&=(a-\cos\theta)^2+(b-\sin\theta)^2\\[0.5em]&=a^2-2a\cos\theta+\cos^2\theta\\ &\qquad+b^2-2b\sin\theta+\sin^2\theta\\[0.5em]&=(a^2+b^2)+(\sin^2\theta+\cos^2\theta)\\ &\qquad-2(a\cos\theta+b\sin\theta)\\[0.5em]&=r^2+1-2(a\cos\theta+b\sin\theta)\tag{a}\\ &\qquad\left(\because\begin{aligned}&\sin^2x+\cos^2x=1\\[0.5em]&r=\sqrt{a^2+b^2}\end{aligned}\right)\end{align*}$$

となります。

　次に平面上の2点$\bigl(r\cos(α-θ),r\sin(α-θ)\bigr),(1,0)$を考えます。
$(a,b)=(r\cosα,r\sinα),(1,0)=(\cos0°,\sin0°)$であることより、これらの点はそれぞれ$(a,b),(\cosθ,\sinθ)$を原点を中心に時計回りに$θ$だけ回転させたものであるため、この2点間の距離も$l$となります。

これら2点の座標をもちいて$l^2$を表すと

$$\begin{align*}l^2&=\bigl\{r\cos(\alpha-\theta)-1\bigr\}^2+\bigl\{r\sin(\alpha-\theta)-0\bigr\}^2\\[0.5em]&=r^2\cos^2(\alpha-\theta)-2r\cos(\alpha-\theta)+1\\ &\qquad+r^2\sin^2(\alpha-\theta)\\[0.5em]&=\bigl\{r^2\sin^2(\alpha-\theta)+r^2\cos^2(\alpha-\theta)\bigr\}\\ &\qquad+1-2r\cos(\alpha-\theta)\\[0.5em]&=r^2\bigl\{\sin^2(\alpha-\theta)+\cos^2(\alpha-\theta)\bigr\}\\ &\qquad+1-2r\cos(\alpha-\theta)\\[0.5em]&=r^2+1-2r\cos(\alpha-\theta)\tag{b}\\ &\qquad(\because\sin^2x+\cos^2x=1)\end{align*}$$

となります。

$\text{(a),(b)}$より

$$\begin{align*}r^2+1-2(a\cos\theta+b\sin\theta)&=r^2+1-2r\cos(\alpha-\theta)\\[0.5em]\therefore a\cos\theta+b\sin\theta&=r\cos(\alpha-\theta)\end{align*}$$

となります。

したがって、三角関数の和$a\cosθ+b\sinθ$は

$$\begin{align*}r=\sqrt{a^2+b^2}\\[0.5em]\begin{cases}\cos\alpha=\dfrac{a}{\sqrt{a^2+b^2}}\\[0.5em]\sin\alpha=\dfrac{b}{\sqrt{a^2+b^2}}\end{cases}\end{align*}$$

を満たす実数$r,α$をもちいて

$$\large a\cos\theta+b\sin\theta=r\cos(\alpha-\theta)\tag1$$

と表せることがわかります。

その2

　平面上の2点$(a,b),\bigl(\cos(-θ),\sin(-θ)\bigr)$を考えます。

その1と同様、

$$\begin{align*}r=\sqrt{a^2+b^2}\\[0.5em]\begin{cases}\cos\alpha=\dfrac{a}{\sqrt{a^2+b^2}}\\[0.5em]\sin\alpha=\dfrac{b}{\sqrt{a^2+b^2}}\end{cases}\end{align*}$$

を満たす$r,α$によって点$(a,b)$を

$$(a,b)=(r\cos\theta,r\sin\theta)$$

と表すことができます。

2点$(a,b),\bigl(\cos(-θ),\sin(-θ)\bigr)$間の距離を$l$とすると、その2乗は

$$\begin{align*}l^2&=\bigl\{a-\cos(-\theta)\bigr\}^2+\bigl\{b-\sin(-\theta)\bigr\}^2\\[0.5em]&=a^2-2a\cos(-\theta)+\cos^2(-\theta)\\ &\qquad+b^2-2b\sin(-\theta)+\sin^2(-\theta)\\[0.5em]&=(a^2+b^2)+\bigl\{\sin^2(-\theta)+\cos^2(-\theta)\bigr\}\\ &\qquad-2\bigl\{a\cos(-\theta)+b\sin(-\theta)\bigr\}\\[0.5em]&=r^2+1-2\bigl\{a\cos(-\theta)+b\sin(-\theta)\bigr\}\\ &\qquad\left(\because\begin{aligned}&\sin^2x+\cos^2x=1\\[0.5em]&r=\sqrt{a^2+b^2}\end{aligned}\right)\end{align*}$$

となり、三角関数の性質$\sin(-x)=-\sin x,\cos(-x)=\cos x$より

$$\begin{align*}l^2&=r^2+1-2\bigl\{a\cos\theta+b(-\sin\theta)\bigr\}\\[0.5em]&=r^2+1-2(a\cos\theta-b\sin\theta)\tag{c}\end{align*}$$

となります。

　次に平面上の2点$\bigl(r\cos(α+θ),r\sin(α+θ)\bigr),(1,0)$を考えます。
$(a,b)=(r\cosα,r\sinα),(1,0)=(\cos0°,\sin0°)$であることより、これらの点はそれぞれ$(a,b),(\cosθ,\sinθ)$を原点を中心に反時計回りに$θ$だけ回転させたものであるため、この2点間の距離も$l$となります。

これら2点の座標をもちいて$l^2$を表すと

$$\begin{align*}l^2&=\bigl\{r\cos(\alpha+\theta)-1\bigr\}^2+\bigl\{r\sin(\alpha+\theta)-0\bigr\}^2\\[0.5em]&=r^2\cos^2(\alpha+\theta)-2r\cos(\alpha+\theta)+1\\ &\qquad+r^2\sin^2(\alpha+\theta)\\[0.5em]&=\bigl\{r^2\sin^2(\alpha+\theta)+r^2\cos^2(\alpha+\theta)\bigr\}\\ &\qquad+1-2r\cos(\alpha+\theta)\\[0.5em]&=r^2\bigl\{\sin^2(\alpha+\theta)+\cos^2(\alpha+\theta)\bigr\}\\ &\qquad+1-2r\cos(\alpha+\theta)\\[0.5em]&=r^2+1-2r\cos(\alpha+\theta)\tag{d}\\ &\qquad(\because\sin^2x+\cos^2x=1)\end{align*}$$

となります。

$\text{(c),(d)}$より

$$\begin{align*}r^2+1-2(a\cos\theta-b\sin\theta)&=r^2+1-2r\cos(\alpha+\theta)\\[0.5em]\therefore a\cos\theta-b\sin\theta&=r\cos(\alpha+\theta)\end{align*}$$

となります。

したがって、三角関数の差$a\cosθ-b\sinθ$は

$$\begin{align*}r=\sqrt{a^2+b^2}\\[0.5em]\begin{cases}\cos\alpha=\dfrac{a}{\sqrt{a^2+b^2}}\\[0.5em]\sin\alpha=\dfrac{b}{\sqrt{a^2+b^2}}\end{cases}\end{align*}$$

を満たす実数$r,α$をもちいて

$$\large a\cos\theta-b\sin\theta=r\cos(\alpha+\theta)$$

と表せることがわかります。

　$(1),(2)$をまとめると

$$\large a\cos\theta\pm b\sin\theta=r\cos(\alpha\mp\theta)\tag{複号同順}$$

実数$r,α$は

$$\begin{align*}r=\sqrt{a^2+b^2}\\[0.5em]\begin{cases}\cos\alpha=\dfrac{a}{\sqrt{a^2+b^2}}\\[0.5em]\sin\alpha=\dfrac{b}{\sqrt{a^2+b^2}}\end{cases}\end{align*}$$

を満たす。

となります。

その3

　平面上の2点$(b,a),\bigl(\cos(θ-90°),\sin(θ-90°)\bigr)$を考えます。
これはその1と比較すると$a,b$を入れ替え、$θ$を$θ-90°$に置き換えたものとなります。

すると、その1と同様にすると

$$\begin{align*}r=\sqrt{a^2+b^2}\\[0.5em]\begin{cases}\cos\alpha=\dfrac{b}{\sqrt{a^2+b^2}}\\[0.5em]\sin\alpha=\dfrac{a}{\sqrt{a^2+b^2}}\end{cases}\end{align*}$$

を満たす$r,α$によって点$(a,b)$を

$$(a,b)=(r\cos\theta,r\sin\theta)$$

と表すことができます。

2点$(b,a),\bigl(\cos(θ-90°),\sin(θ-90°)\bigr)$間の距離を$l$の2乗は

$$l^2=r^2+1-2\bigl\{b\cos(\theta-90°)+a\sin(\theta-90°)\bigr\}$$

となります。

ここで、

$$\begin{align*}\sin(\theta-90°)&=\sin\{-(90°-\theta)\}\\[1em]\cos(\theta-90°)&=\cos\{-(90°-\theta)\}\end{align*}$$

であり、三角関数の性質$\sin(-x)=-\sin x,\cos(-x)=\cos x$より

$$\begin{align*}\sin(\theta-90°)&=-\sin(90°-\theta)\\[1em]\cos(\theta-90°)&=\cos(90°-\theta)\end{align*}$$

三角関数の性質$\sin(90°-x)=\cos x,\cos(90°-x)=\sin x$より

$$\begin{align*}\sin(\theta-90°)&=-\cos\theta\\[1em]\cos(\theta-90°)&=\sin\theta\end{align*}$$

となります。

関連：$-θ,90°±θ,180°±θ,270°±θ$の三角関数

したがって、$l^2$は

$$\begin{align*}l^2&=r^2+1-2\bigl\{b\sin\theta+a(-\cos\theta)\bigr\}\\[0.5em]&=r^2+1-2(b\sin\theta-a\cos\theta)\tag{e}\end{align*}$$

となります。

　次に平面上の2点$\bigl(r\cos\{90°+(α-θ)\},r\sin\{90°+(α-θ)\}\bigr),(1,0)$を考えます。
$(b,a)=(r\cosα,r\sinα),(1,0)=(\cos0°,\sin0°),$$90°+(α-θ)=α-(θ-90°)$であることより、これらの点はそれぞれ$(b,a),(\cosθ,\sinθ)$を原点を中心に時計回りに$θ-90°$だけ回転させたものであるため、この2点間の距離も$l$となります。

これら2点の座標をもちいて$l^2$を表すと

$$\begin{align*}l^2&=\bigl[r\cos\{90°+(\alpha-\theta)\}-1\bigr\}^2+\bigl[r\sin\{90°+(\alpha-\theta)\}-0\bigr]^2\\[0.5em]&=r^2\cos^2\{90°+(\alpha-\theta)\}-2r\cos\{90°+(\alpha-\theta)\}+1\\ &\qquad+r^2\sin^2\{90°+(\alpha-\theta)\}\\[0.5em]&=\bigl[r^2\sin^2\{90°+(\alpha-\theta)\}+r^2\cos^2\{90°+(\alpha-\theta)\}\bigr]\\ &\qquad+1-2r\cos\{90°+(\alpha-\theta)\}\\[0.5em]&=r^2\bigl[\sin^2\{90°+(\alpha-\theta)\}+\cos^2\{90°+(\alpha-\theta)\}\bigr]\\ &\qquad+1-2r\cos\{90°+(\alpha-\theta)\}\\[0.5em]&=r^2+1-2r\cos\{90°+(\alpha-\theta)\}\tag{f}\\ &\qquad(\because\sin^2x+\cos^2x=1)\end{align*}$$

となります。

$\text{(e),(f)}$より

$$\begin{align*}r^2+1-2(b\sin\theta-a\cos\theta)&=r^2+1-2r\cos\{90°+(\alpha-\theta)\}\\[0.5em]\therefore b\sin\theta-a\cos\theta&=r\cos\{90°+(\alpha-\theta)\}\\[0.5em]a\cos\theta-b\sin\theta&=-r\cos\{90°+(\alpha-\theta)\}\end{align*}$$

となり、さらに三角関数の性質$\cos(90°+x)=-\sin x$より

$$\begin{align*}a\cos\theta-b\sin\theta&=-r\bigl\{-\sin(\alpha-\theta)\bigr\}\\[0.5em]&=r\sin(\alpha-\theta)\end{align*}$$

となります。

したがって、三角関数の差$a\cosθ-b\sinθ$は

$$\begin{align*}r=\sqrt{a^2+b^2}\\[0.5em]\begin{cases}\cos\alpha=\dfrac{b}{\sqrt{a^2+b^2}}\\[0.5em]\sin\alpha=\dfrac{a}{\sqrt{a^2+b^2}}\end{cases}\end{align*}$$

を満たす実数$r,α$をもちいて

$$\large a\cos\theta-b\sin\theta=r\sin(\alpha-\theta)\tag3$$

と表せることがわかります。

その4

　平面上の2点$(b,a),\bigl(\cos(90°-θ),\sin(90°-θ)\bigr)$を考えます。

これはその1と比較すると$a,b$を入れ替え、$θ$を$90°-θ$に置き換えたものとなります。

すると、その1と同様にすると

$$\begin{align*}r=\sqrt{a^2+b^2}\\[0.5em]\begin{cases}\cos\alpha=\dfrac{b}{\sqrt{a^2+b^2}}\\[0.5em]\sin\alpha=\dfrac{a}{\sqrt{a^2+b^2}}\end{cases}\end{align*}$$

を満たす$r,α$によって点$(a,b)$を

$$(a,b)=(r\cos\theta,r\sin\theta)$$

と表すことができます。

2点$(b,a),\bigl(\cos(90°-θ),\sin(90°-θ)\bigr)$間の距離を$l$の2乗は

$$l^2=r^2+1-2\bigl\{b\cos(90°-\theta)-a\sin(90°-\theta)\bigr\}$$

となります。

さらに、三角関数の性質$\sin(90°-x)=\cos x,\cos(90°-x)=\sin x$より

$$\begin{align*}l^2&=r^2+1-2(b\sin\theta+a\cos\theta)\\[0.5em]&=r^2+1-2(a\cos\theta+b\sin\theta)\tag{g}\end{align*}$$

となります。

　次に平面上の2点$\bigl(r\cos\{(α+θ)-90°\},r\sin\{(α+θ)-90°\}\bigr),(1,0)$を考えます。
$(b,a)=(r\cosα,r\sinα),(1,0)=(\cos0°,\sin0°),$$(α+θ)-90°=α-(90°-θ)$であることより、これらの点はそれぞれ$(b,a),(\cosθ,\sinθ)$を原点を中心に時計回りに$90°-θ$だけ回転させたものであるため、この2点間の距離も$l$となります。

これら2点の座標をもちいて$l^2$を表すと

$$\begin{align*}l^2&=\bigl[r\cos\{(\alpha+\theta)-90°\}-1\bigr\}^2+\bigl[r\sin\{(\alpha+\theta)-90°\}-0\bigr]^2\\[0.5em]&=r^2\cos^2\{(\alpha+\theta)-90°\}-2r\cos\{(\alpha+\theta)-90°\}+1\\ &\qquad+r^2\sin^2\{(\alpha+\theta)-90°\}\\[0.5em]&=\bigl[r^2\sin^2\{(\alpha+\theta)-90°\}+r^2\cos^2\{(\alpha+\theta)-90°\}\bigr]\\ &\qquad+1-2r\cos\{(\alpha+\theta)-90°\}\\[0.5em]&=r^2\bigl[\sin^2\{(\alpha+\theta)-90°\}+\cos^2\{(\alpha+\theta)-90°\}\bigr]\\ &\qquad+1-2r\cos\{(\alpha+\theta)-90°\}\\[0.5em]&=r^2+1-2r\cos\{(\alpha+\theta)-90°\}\tag{h}\\ &\qquad(\because\sin^2x+\cos^2x=1)\end{align*}$$

となります。

$\text{(g),(h)}$より

$$\begin{align*}r^2+1-2(a\cos\theta+b\sin\theta)&=r^2+1-2r\cos\{(\alpha+\theta)-90°\}\\[0.5em]\therefore a\cos\theta+b\sin\theta&=r\cos\{(\alpha+\theta)-90°\}\end{align*}$$

となり、さらに$\cos(x-90°)=\sin x$より

$$a\cos\theta+b\sin\theta=r\sin(\alpha+\theta)$$

が得られます。

したがって、三角関数の和$a\cosθ+b\sinθ$は

$$\begin{align*}r=\sqrt{a^2+b^2}\\[0.5em]\begin{cases}\cos\alpha=\dfrac{b}{\sqrt{a^2+b^2}}\\[0.5em]\sin\alpha=\dfrac{a}{\sqrt{a^2+b^2}}\end{cases}\end{align*}$$

を満たす実数$r,α$をもちいて

$$\large a\cos\theta+b\sin\theta=r\sin(\alpha+\theta)\tag4$$

と表せることがわかります。

　$(3),(4)$をまとめると

$$\large a\cos\theta\pm b\sin\theta=r\sin(\alpha\pm\theta)\tag{複号同順}$$

実数$r,α$は

$$\begin{align*}r=\sqrt{a^2+b^2}\\[0.5em]\begin{cases}\cos\alpha=\dfrac{b}{\sqrt{a^2+b^2}}\\[0.5em]\sin\alpha=\dfrac{a}{\sqrt{a^2+b^2}}\end{cases}\end{align*}$$

を満たす。

となります。

$(1)$～$(4)$の変形

　得られた$(1)$～$(4)$の式の左辺が$b\sinθ+a\cosθ$または$b\sinθ-a\cosθ$となるよう、右辺の角度が$θ+α$または$θ-α$となるように変形してみます。

$(1)$

$$\begin{align*}a\cos\theta+b\sin\theta&=r\cos(\alpha-\theta)\\[0.5em]b\sin\theta+a\cos\theta&=r\cos\{-(\theta-\alpha)\}\end{align*}$$

三角関数の性質$\cos(-x)=\cos x$より

$$b\sin\theta+a\cos\theta=r\cos(\theta-\alpha)\tag*{(1)'}$$

$(2)$

$$\begin{align*}a\cos\theta-b\sin\theta&=r\cos(\alpha+\theta)\\[0.5em]-(b\sin\theta-a\cos\theta)&=r\cos(\theta+\alpha)\\[0.5em]\therefore b\sin\theta-a\cos\theta&=-r\cos(\theta+\alpha)\tag*{(2)'}\end{align*}$$

$(3)$

$$\begin{align*}a\cos\theta-b\sin\theta&=r\sin(\alpha-\theta)\\[0.5em]-(b\sin\theta-a\cos\theta)&=r\sin\{-(\theta-\alpha)\}\\[0.5em]b\sin\theta-a\cos\theta&=-r\sin\{-(\theta-\alpha)\}\end{align*}$$

三角関数の性質$\sin(-x)=-\sin x$より

$$\begin{align*}b\sin\theta-a\cos\theta&=-r\bigl\{-\sin(\theta-\alpha)\bigr\}\\[0.5em]\therefore b\sin\theta-a\cos\theta&=r\sin(\theta-\alpha)\tag*{(3)'}\end{align*}$$

$(4)$

$$\begin{align*}a\cos\theta+b\sin\theta&=r\sin(\alpha+\theta)\\[0.5em]\therefore b\sin\theta+a\cos\theta&=r\sin(\theta+\alpha)\tag*{(4)'}\end{align*}$$

$(1)',(2)'$をまとめると

$$\large b\sin\theta\pm a\cos\theta=\pm r\cos(\theta\mp\alpha)\tag{複号同順}$$

実数$r,α$は

$$\begin{align*}r=\sqrt{a^2+b^2}\\[0.5em]\begin{cases}\cos\alpha=\dfrac{a}{\sqrt{a^2+b^2}}\\[0.5em]\sin\alpha=\dfrac{b}{\sqrt{a^2+b^2}}\end{cases}\end{align*}$$

を満たす。

$(3)',(4)'$をまとめると

$$\large b\sin\theta\pm a\cos\theta=r\sin(\theta\pm\alpha)\tag{複号同順}$$

実数$r,α$は

$$\begin{align*}r=\sqrt{a^2+b^2}\\[0.5em]\begin{cases}\cos\alpha=\dfrac{b}{\sqrt{a^2+b^2}}\\[0.5em]\sin\alpha=\dfrac{a}{\sqrt{a^2+b^2}}\end{cases}\end{align*}$$

を満たす。

となります。これらは$a,b$が入れ替わっているだけで「三角関数の合成 $\sin$や$\cos$の係数をどうするか？」で紹介している公式と全く同じものになることがわかります。

関連：三角関数の加法定理

関連：三角関数の合成 $\sin$や$\cos$の係数をどうするか？