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2024年5月16日

碁盤の目状の道路網の確率(2)

碁盤の目状の道路のA、B、Cそれぞれにたどり着く確率は?
「上図のような道路のスタート地点から上に進むか右に進むかをランダムに決めながら進む。上に進む確率が1313、右に進む確率が2323のとき、AA地点、BB地点、CC地点へたどり着く確率をそれぞれ求めよ。」

CC地点にたどり着く確率

 まずはCC地点にたどり着く確率を求めます。
C地点までの最短経路
スタート地点からCC地点まで上図の経路を通ります。この経路は上と右のどちらにも進める交差点がスタート地点含め3個通ります。
したがって、3回とも右を選ぶことでCC地点にたどり着くことができるのでその確率は
(23)3=827(23)3=827
となります。

BB地点にたどり着く確率

 次にBB地点にたどり着く確率を求めます。
B地点までの最短経路
スタート地点からBB地点までの最短経路をすべて重ねると上図に赤く示したようになります。
どの経路も上と右のどちらにも進める交差点をスタート地点含め4個通り、うち1個は上に、3個は右に進みます。
このことから、特定の1つの経路でBB地点にたどり着く確率は
(13)(23)3=881(13)(23)3=881
となります。
また、スタート地点からBB地点までの最短経路の数は3!1!2!=33!1!2!=3なので、BB地点にたどり着く確率は
881×3=827881×3=827
と求められます。

AA地点にたどり着く確率

 スタート地点から上か右に進むと必ずAA地点かBB地点かCC地点のいずれかにたどり着きます。すなわち、「AA地点にたどり着く」、「BB地点にたどり着く」、「CC地点にたどり着く」の3つが起こり得るすべての事象ということです。
したがって、AA地点かBB地点かCC地点のいずれかにたどり着く確率は11であり、これからBB地点にたどり着く確率とCC地点にたどり着く確率を差し引いたものがAA地点にたどり着く確率であるため
1(827+827)=11271(827+827)=1127
と求められます。

 上述の余事象を利用する以外の方法でAA地点にたどり着く確率を求めてみます。
碁盤の目状の道路にP、Q地点をおく
AA地点の下の交差点を上からP, QP, Qとし、どの交差点に最初にたどり着くかで場合分けして確率を求めます。

(a)P, QP, Qを通らずAA地点にたどり着く場合

P、Q地点を通らないA地点までの最短経路
 P, QP, Q地点を通らずにAA地点にたどり着く最短経路すべてを重ねると上図のようになります。
AA地点の左にある交差点を左からR, S, TR, S, Tとすると、最初に通る最も上に位置する交差点がどれかで以下のように場合分けでき、「碁盤の目状の道路の確率」の(3)と同様の方法で確率を求めることができます。

RR地点の場合

スタート地点→R→S→T→Aの最短経路
 最初に通る最も上に位置する交差点がRR地点となる最短経路は上図に示したもので、スタート地点含めた上と右のどちらにも進める交差点4個すべてで上に進むので、この場合の確率は
(13)4=181(13)4=181
となります。

SS地点の場合

スタート地点→S→T→Aの最短経路
 最初に通る最も上に位置する交差点がSS地点となる最短経路すべてを重ねると上図のようになり、どの経路も上と右のどちらにも進める交差点をスタート地点含め5個通り、うち4個は上に、1個は右に進みます。
また、この場合の最短経路の数は4!3!1!=44!3!1!=4個です。
したがって、この場合の確率は
(13)4(23)×4=8243(13)4(23)×4=8243
となります。

TT地点の場合

スタート地点→T→Aの最短経路
 最初に通る最も上に位置する交差点がTT地点となる最短経路すべてを重ねると上図のようになり、どの経路も上と右のどちらにも進める交差点をスタート地点含め6個通り、うち4個は上に、2個は右に進みます。
また、この場合の最短経路の数は5!3!2!=105!3!2!=10個です。
したがって、この場合の確率は
(13)4(23)2×10=40729(13)4(23)2×10=40729
となります。

 以上よりP, QP, Q地点を通らずにAA地点にたどり着く確率は
181+8243+40729=73729181+8243+40729=73729
と求められます。

(b)PP地点に最初にたどり着く場合

スタート地点→P→Aの最短経路
 QQ地点を通らずPP地点を通ってAA地点にたどり着く最短経路すべてを重ねると上図のようになります。
どの経路も上と右のどちらにも進める交差点をスタート地点含め6個通り、うち3個は上に、3個は右に進みます。
また、この場合の最短経路の数は5!3!2!=105!3!2!=10個です。
したがって、QQ地点を通らずPP地点を通ってAA地点にたどり着く確率は
(13)3(23)3×10=80729(13)3(23)3×10=80729
となります。

(c)QQ地点に最初にたどり着く場合

スタート地点→Q→P→Aの最短経路
 QQ地点を通ってAA地点にたどり着く最短経路すべてを重ねると上図のようになります。
どの経路も上と右のどちらにも進める交差点をスタート地点含め5個通り、うち2個は上に、3個は右に進みます。
また、この場合の最短経路の数は4!2!2!=64!2!2!=6個です。
したがって、QQ地点を通ってAA地点にたどり着く確率は
(13)2(23)3×6=1681(13)2(23)3×6=1681
となります。

 (a)、(b)、(c)はどれも同時に起こり得ないので、AA地点にたどり着く確率は
73729+80729+1681=297729=112773729+80729+1681=297729=1127
と求められます。

 以上より、

AA地点にたどり着く確率は11271127
BB地点にたどり着く確率は827827
CC地点にたどり着く確率は827827

であることがわかります。

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