碁盤の目状の道路網の確率 ~ 数学について考えてみる

「上図のような道路のスタート地点からゴール地点まで各交差点で上に進むか右に進むかをランダムに決定しながら移動する。上に進む確率と右に進む確率はともに

$\dfrac{1}{2}$ である。
このとき、以下の問いに答えよ。

(1)赤く示した経路を進む確率を求めよ。

(2) $\text{P}$ 地点を通る確率を求めよ。

(3)

$\text{Q}$ 地点を通る確率を求めよ。」

(1)赤く示した経路を進む確率

　この道路のゴール地点を除く交差点には、上と右のどちらにも進める交差点、上に進めない交差点、右に進めない交差点の3種類が存在します。
上に進めない交差点は最も上に位置する交差点、右に進めない交差点は最も右に位置する交差点、上と右のどちらにも進める交差点は他2種の交差点残り全ての交差点となります。
このうち、上に進むか右に進むかの抽選が行われる交差点は上と右のどちらにも進める交差点だけで、どちらか一方が進めない交差点は残された進路を必ず進むことになります。

赤く示した経路はスタート地点を含め、上と右のどちらにも進める交差点を5個通ります。

すなわち、赤く示した経路を進むには5回の抽選全てで経路通りの進路を選ばなければならないのでその確率は

$\left(\frac{1}{2}\right)^5=\mathbf{\frac{1}{32}}$

となります。

　この問題を

最短経路は

${_7C_3}=35$ 通りあるから赤く示した経路を進む確率は

$\dfrac{1}{35}$ 。

と解くことができないのは、上述した交差点の違いにあります。

経路ごとに上と右のどちらにも進める交差点を通る回数が異なり、上と右のどちらにも進める交差点を通らない経路ほど、すなわち抽選回数が少ない経路ほど選ばれやすくなります。

上記の考えは各経路が同等の選ばれやすさである（選ばれ方が同様に確からしい）ことが条件となるため、この問題の場合には当てはまりません。

(2) $\text{P}$ 地点を通る確率

　これは

$\text{P}$ 地点にたどり着き、かつ

$\text{P}$ 地点からゴール地点にたどり着ける確率と言い換えることができます。

$\text{P}$ 地点にたどり着ける確率を考えます。

スタート地点から

$\text{P}$ 地点までのすべての最短経路を重ねると上図で赤く示したようになります。
赤く示した部分の交差点はすべて上と右のどちらにも進める交差点であり、どの最短経路でも必ず（スタート地点を含め

$\text{P}$ 地点を除く）4つの交差点を通ることになります。すなわち、(1)とは異なりどの最短経路でも選ばれ方は同様に確からしいということです。

このことから、スタート地点から

$\text{P}$ 地点までの特定の1つの最短経路を通る確率は

$\left(\frac{1}{2}\right)^4=\frac{1}{16}$

となります。

また、スタート地点から

$\text{P}$ 地点までの最短経路は

$\dfrac{4!}{1!3!}=4$ 通りあるので、スタート地点から

$\text{P}$ 地点にたどり着ける確率は

$\frac{1}{16}\times4=\frac{1}{4}$

となります。

$\text{P}$ 地点からゴール地点にたどり着ける確率を考えます。

$\text{P}$ 地点からゴール地点まではどのような道を選択しても必ずたどり着けるので

$\text{P}$ 地点からゴール地点にたどり着ける確率は

$1$ となります。

　以上より

$\text{P}$ 地点を通る確率は

$\frac{1}{4}\times1=\mathbf{\frac{1}{4}}$

と求められます。

$\text{P}$ 地点からゴール地点まで必ずたどり着けるのであれば

$\text{P}$ 地点を通る確率は

$\text{P}$ 地点にたどり着ける確率と等しくなります。

(3) $\text{Q}$ 地点を通る確率

　(2)と同様、

$\text{Q}$ 地点にたどり着き、かつ

$\text{Q}$ 地点からゴール地点にたどり着ける確率と言い換えることができます。

$\text{Q}$ 地点からどのように進んでも（といっても右にしか進めませんが）必ずゴール地点にたどり着けるので、

$\text{Q}$ 地点からゴール地点にたどり着ける確率は

$1$ となり、(2)と同様求める確率は

$\text{Q}$ 地点にたどり着ける確率に等しいことがわかります。

$\text{Q}$ 地点にたどり着ける確率を考えます。

スタート地点から

$\text{Q}$ 地点までのすべての最短経路を重ねると上図で赤く示したようになります。
赤く示した部分の最も上に位置する交差点は上に進めない交差点であり、経路によって通る上と右のどちらにも進める交差点の個数が異なります。

そこで、

$\text{Q}$ 地点以外の上に進めない交差点を左から

$\text{A, B}$ とし、最初に到達する上に進めない交差点がどれになるかで場合分けして考えます。

(a) $\text{A}$ 地点の場合

　最初に到達する上に進めない交差点が

$\text{A}$ 地点となるような最短経路は上図に赤く示したものとなります。
この経路で通る上と右のどちらにも進める交差点の個数はスタート地点含め3個です。

したがって、最初に到達する上に進めない交差点が

$\text{A}$ 地点となるような最短経路で

$\text{Q}$ 地点にたどり着ける確率は

$\left(\frac{1}{2}\right)^3=\frac{1}{8}$

となります。

(b) $\text{B}$ 地点の場合

　最初に到達する上に進めない交差点が

$\text{B}$ 地点となるようなすべての経路を重ねると上図に赤く示したようになります。
どの経路でも通る上と右のどちらにも進める交差点の個数はスタート地点含め4個です。

このことから、最初に到達する上に進めない交差点が

$\text{B}$ 地点となるような

$\text{Q}$ 地点までの特定の1つの最短経路を通る確率は

$\left(\frac{1}{2}\right)^4=\frac{1}{16}$

となります。

また、この場合の経路の個数はスタート地点から

$\text{B}$ 地点の1つ下の交差点

$\text{C}$ までの最短経路の個数に等しい

$\dfrac{3!}{2!1!}=3$ 個なので、最初に到達する上に進めない交差点が

$\text{B}$ 地点となるような最短経路で

$\text{Q}$ 地点にたどり着ける確率は

$\frac{1}{16}\times3=\frac{3}{16}$

となります。

(c) $\text{Q}$ 地点の場合

　最初に到達する上に進めない交差点が

$\text{Q}$ 地点となるようなすべての経路を重ねると上図に赤く示したようになります。
どの経路でも通る上と右のどちらにも進める交差点の個数はスタート地点含め5個です。

このことから、最初に到達する上に進めない交差点が

$\text{Q}$ 地点となるような

$\text{Q}$ 地点までの特定の1つの最短経路を通る確率は

$\left(\frac{1}{2}\right)^5=\frac{1}{32}$

となります。

また、この場合の経路の個数はスタート地点から

$\text{Q}$ 地点の1つ下の交差点

$\text{D}$ までの最短経路の個数に等しい

$\dfrac{4!}{2!2!}=6$ 個なので、最初に到達する上に進めない交差点が

$\text{B}$ 地点となるような最短経路で

$\text{Q}$ 地点にたどり着ける確率は

$\frac{1}{32}\times6=\frac{3}{16}$

となります。

　(a)、(b)、(c)はどれも同時に起こり得ない（排反事象である）ので

$\text{Q}$ 地点にたどり着ける確率は各場合の確率を合計した

$\frac{1}{8}+\frac{3}{16}+\frac{3}{16}=\mathbf{\frac{1}{2}}$

となります。

数学について考えてみる

2024年5月11日

碁盤の目状の道路網の確率

(1)赤く示した経路を進む確率

(2) $\text{P}$ 地点を通る確率