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2024年5月21日

碁盤の目状の道路網の各交差点にたどり着く確率を求める

碁盤の目状の道路
 上図のような道路網のA地点から各交差点で上に進むか右に進むかをランダムに決めて進みます。上に進む確率と右に進む確率がともに12のときの各交差点にたどり着く確率を簡単な方法で求めてみます。

各交差点から道を進む確率
 まずは道路網の各交差点からのびる道に進む確率を書き込みます。
本記事の場合は対応する道に上に進む確率と右に進む確率である12または1を書き込みます。(最も右に位置する縦の道と最も上に位置する横の道を進む確率が1となります。)

スタート(A)地点にたどり着く確率を書く
次にA地点にたどり着く確率を書き込みます。
A地点はスタート地点なので、ここにたどり着く確率は1といえます。

交差点にたどり着く確率×道を進む確率で隣の交差点にたどり着く確率になる
B地点にたどり着く確率を書き込みます。
B地点にたどり着く確率はA地点から右に進む確率でもあるので12となります。
また、B地点にたどり着く確率はA地点にたどり着き、かつA地点から右に進む確率ともいえるので、その確率である12A地点にたどり着く確率1A地点から右へ進む確率12の積より求められた、ともいえます。

交差点にたどり着く確率×道を進む確率で隣の交差点にたどり着く確率になる②
C地点にたどり着く確率も上記と同様にB地点にたどり着き、かつB地点から右に進む確率といえるので、B地点にたどり着く確率12B地点から右に進む確率12の積14となります。
同様にしてD, E, F, K, P地点にたどり着く確率も上図のように求められます。

隣接する交差点にたどり着く確率×道を進む確率の総和がその交差点にたどり着く確率
G地点にたどり着く確率はABGの経路でたどり着く確率とAFGの経路でたどり着く確率の和となります。
ABGの経路でたどり着く確率はB地点にたどり着き、かつB地点から上に進む確率といえるので、B地点にたどり着く確率12B地点から上に進む確率12の積14となります。
AFGの経路でたどり着く確率はF地点にたどり着き、かつF地点から右に進む確率といえるので、F地点にたどり着く確率12F地点から右に進む確率12の積14となります。
したがって、G地点にたどり着く確率は
14+14=24=12
と求められます。

碁盤の目状の道路の各交差点にたどり着く確率
残る交差点にたどり着く確率もG地点にたどり着く確率と同様に行うと上図のようになります。
この方法で行う作業をまとめると以下のようになります。
  1. 各交差点から道を進む確率をそれぞれの道に書き込む。
  2. スタート地点となる交差点にたどり着く確率として1を書き込む。
  3. 他の交差点にたどり着く確率として
    (隣接する交差点にたどり着く確率)×(通じる道を進む確率)
    の合計を書き込む。
道路網の形と進む確率は↑と同じものです。(2)、(3)をこの方法で解くことができます。

 また、一部の道がなかったり、道を進む確率が異なっていても同様の作業によって各交差点にたどり着く確率を求めることができます。
碁盤の目状の道路②
例えば、上図のような道路でA地点から各交差点で右に進むか上に進むかをランダムに決めて進む場合を考えます。
上に進む確率を13、右に進む確率を23としたときの各交差点にたどり着く確率は以下のようになります。
碁盤の目状の道路の各交差点にたどり着く確率②
道路の形と進む確率は↑と同じもので、この方法で解くことができます。

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