平面座標を三角関数をもちいて表す　例題 ~ 数学について考えてみる

2024年5月6日

平面座標を三角関数をもちいて表す　例題

PLUMBAGO

「次の直交座標を

(r cos θ, r sin θ)

$(r\cos\theta,r\sin\theta)$ （

r > 0, 0 ≦ θ < 2 π

$r>0,0\leqqθ<2\pi$ ）という形で表せ。

(1)

(\sqrt{3}, 1)

$\large(\sqrt{3},1)$

(2) $\large(7,-7)$

(3) $\large\left(-2,-\dfrac{2}{\sqrt{3}}\right)$ 」

　平面上の点

(a, b)

$(a,b)$ は、

\begin{matrix} r = \sqrt{a^{2} + b^{2}} ⎧ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎨ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩ \begin{matrix} cos θ = \frac{a}{r} = \frac{a}{\sqrt{a^{2} + b^{2}}} sin θ = \frac{b}{r} = \frac{b}{\sqrt{a^{2} + b^{2}}} \end{matrix} \end{matrix}

$\begin{gather*}&r=\sqrt{a^2+b^2}\\[0.5em]&\begin{cases}\cos\theta=\dfrac{a}{r}=\dfrac{a}{\sqrt{a^2+b^2}}\\[0.5em]\sin\theta=\dfrac{b}{r}=\dfrac{b}{\sqrt{a^2+b^2}}\end{cases}\end{gather*}$

を満たす

r, θ

$r,θ$ によって

(a, b) = (r cos θ, r sin θ)

$(a,b)=(r\cos\theta,r\sin\theta)$

と表せます。

これを利用して問題を解きます。

(1) $(\sqrt{3},1)$

r

$r$ を求めると

\begin{matrix} r & = \sqrt{(\sqrt{3})^{2} + 1^{2}} = \sqrt{4} = 2 \end{matrix}

$\begin{align*}r&=\sqrt{\bigl(\sqrt{3}\bigr)^2+1^2}\\[0.5em]&=\sqrt{4}\\[0.5em]&=2\end{align*}$

となるので、

θ

$θ$ は

⎧ ⎪ ⎪ ⎪ ⎨ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩ \begin{matrix} cos θ = \frac{\sqrt{3}}{2} sin θ = \frac{1}{2} \end{matrix}

$\begin{cases}\cos\theta=\dfrac{\sqrt{3}}{2}\\[0.5em]\sin\theta=\dfrac{1}{2}\end{cases}$

を満たしていることがわかります。

それぞれの三角方程式を解くと

0 ≦ θ < 2 π

$0\leqqθ<2\pi$ より

$\cosθ=\dfrac{\sqrt{3}}{2}$ は $θ=\dfrac{\pi}{6},\dfrac{11}{6}\pi$

$\sinθ=\dfrac{1}{2}$ は $θ=\dfrac{\pi}{6},\dfrac{5}{6}\pi$

となり、これら三角方程式を同時に満たすことのできる解は

θ = \frac{π}{6}

$θ=\dfrac{\pi}{6}$ であることがわかります。

したがって、

(\sqrt{3}, 1) = (2 cos \frac{π}{6}, 2 sin \frac{π}{6})

$\large (\sqrt{3},1)=\left(2\cos\frac{\pi}{6},2\sin\frac{\pi}{6}\right)$

と表せることがわかります。

(2) $(7,-7)$

$r$ を求めると

$\begin{align*}r&=\sqrt{7^2+(-7)^2}\\[0.5em]&=\sqrt{98}\\[0.5em]&=7\sqrt{2}\end{align*}$

となるので、

$θ$ は

$\begin{cases}\cos\theta=\dfrac{7}{7\sqrt{2}}=\dfrac{1}{\sqrt{2}}\\[0.5em]\sin\theta=\dfrac{-7}{7\sqrt{2}}=-\dfrac{1}{\sqrt{2}}\end{cases}$

を満たしていることがわかります。

それぞれの三角方程式を解くと

$0\leqqθ<2\pi$ より

$\cosθ=\dfrac{\sqrt{3}}{2}$ は $θ=\dfrac{\pi}{4},\dfrac{7}{4}\pi$

$\sinθ=\dfrac{1}{2}$ は $θ=\dfrac{5}{4}\pi,\dfrac{7}{4}\pi$

となり、これら三角方程式を同時に満たすことのできる解は

$θ=\dfrac{7}{4}\pi$ であることがわかります。

したがって、

$\large (7,-7)=\left(7\sqrt{2}\cos\frac{7}{4}\pi,7\sqrt{2}\sin\frac{7}{4}\pi\right)$

と表せることがわかります。

(3) $\left(-2,-\dfrac{2}{\sqrt{3}}\right)$

$r$ を求めると

$\begin{align*}r&=\sqrt{(-2)^2+\left(-\frac{2}{\sqrt{3}}\right)^2}\\[0.5em]&=\sqrt{\frac{16}{3}}\\[0.5em]&=\frac{4}{\sqrt{3}}\\[0.5em]&=\frac{4\sqrt{3}}{3}\end{align*}$

となるので、

$θ$ は

$\begin{cases}\cos\theta=\dfrac{-2}{\dfrac{4}{\sqrt{3}}}=-\dfrac{\sqrt{3}}{2}\\[0.5em]\sin\theta=\dfrac{-\dfrac{2}{\sqrt{3}}}{\dfrac{4}{\sqrt{3}}}=-\dfrac{1}{2}\end{cases}$

を満たしていることがわかります。

それぞれの三角方程式を解くと

$0\leqqθ<2\pi$ より

$\cosθ=-\dfrac{\sqrt{3}}{2}$ は $θ=\dfrac{5}{6}\pi,\dfrac{7}{6}\pi$