底の異なる指数のついた数同士の積と商はどのような変形ができるでしょうか？
積
実数$a,b$、整数$n$について
\begin{align*}&a^nb^n\\[0.5em]=&(\underbrace{a\times
a\times\cdots\times a}_{n個})\times(\underbrace{b\times
b\times\cdots\times b}_{n個})\\[0.5em]=&\underbrace{ab\times
ab\times \cdots\times ab}_{n個}\\[0.5em]=&(ab)^n\end{align*}
さらに整数$m$をもちいて$n<m$のとき
\begin{align*}&a^nb^m\\[0.5em]=&(\underbrace{a\times
a\times\cdots\times a}_{n個})\times(\underbrace{b\times
b\times\cdots\times b}_{n個})\times(\underbrace{b\times\cdots\times
b}_{m-n個})\\[0.5em]=&\underbrace{ab\times ab\times \cdots\times
ab}_{n個}\times(\underbrace{b\times\cdots\times
b}_{m-n個})\\[0.5em]=&(ab)^n\times b^{m-n}\end{align*}
$n>m$のとき
\begin{align*}&a^nb^m\\[0.5em]=&(\underbrace{a\times
a\times\cdots\times a}_{m個})\times(\underbrace{a\times\cdots\times
a}_{n-m個})\times(\underbrace{b\times b\times\cdots\times
b}_{n個})\times(\underbrace{b\times\cdots\times
b}_{m-n個})\\[0.5em]=&\underbrace{ab\times ab\times \cdots\times
ab}_{m個}\times(\underbrace{b\times\cdots\times
b}_{n-m個})\\[0.5em]=&(ab)^m\times a^{n-m}\end{align*}
指数が同じもの同士の積は、底同士の積全体のべき乗にすることができます。
指数が異なる場合は指数が大きい方が余ります。
商
実数$a,b$、整数$n$について
\begin{align*}\frac{a^n}{b^n}&=\frac{\overbrace{a\times
a\times\cdots\times a}^{n個}}{\underbrace{b\times b\times\cdots\times
b}_{n個}}\\[0.5em]&=\underbrace{\frac{a}{b}\times\frac{a}{b}\times\cdots\times\frac{a}{b}}_{n個}\\[0.5em]&=\left(\frac{a}{b}\right)^n\end{align*}
さらに整数$m$をもちいて$n<m$のとき
\begin{align*}&\frac{a^n}{b^m}\\[0.5em]=&\frac{\overbrace{a\times
a\times\cdots\times a}^{n個}}{(\underbrace{b\times\cdots\times
b}_{n個})\times(\underbrace{b\times\cdots\times
b}_{m-n個})}\\[0.5em]=&\left(\underbrace{\frac{a}{b}\times\frac{a}{b}\times\cdots\times\frac{a}{b}}_{n個}\right)\times\frac{1}{\underbrace{b\times\cdots\times
b}_{m-n個}}\\[0.5em]=&\left(\frac{a}{b}\right)^n\times\frac{1}{b^{m-n}}\\[0.5em]=&\left(\frac{a}{b}\right)^n\times
b^{n-m}\end{align*}
$n>m$のとき
\begin{align*}&\frac{a^n}{b^m}\\[0.5em]=&\frac{(\overbrace{a\times\cdots\times
a}^{m個})\times(\overbrace{a\times\cdots\times
a}^{n-m個})}{(\underbrace{b\times b\times\cdots\times
b}_{m個})}\\[0.5em]=&\left(\underbrace{\frac{a}{b}\times\frac{a}{b}\times\cdots\times\frac{a}{b}}_{m個}\right)\times(\underbrace{a\times\cdots\times
a}_{n-m個})\\[0.5em]=&\left(\frac{a}{b}\right)^m\times
a^{n-m}\end{align*}
指数が同じ場合は底の商全体のべき乗にすることができます。
指数が異なる場合は指数が大きい方が余ります。
これらは$m,n$が実数でも成り立ちます。
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