底の異なる指数のついた数同士の積と商 ~ 数学について考えてみる

2022年6月2日

底の異なる指数のついた数同士の積と商

PLUMBAGO

　底の異なる指数のついた数同士の積と商はどのような変形ができるでしょうか？

積

実数

a, b

$a,b$ 、整数

n

$n$ について

\begin{matrix} a^{n} b^{n} = & (a \times a \times \dots \times a      n 個) \times (b \times b \times \dots \times b      n 個) = & a b \times a b \times \dots \times a b      n 個 = & (a b)^{n} \end{matrix}

$\begin{align*}&a^nb^n\\[0.5em]=&(\underbrace{a\times a\times\cdots\times a}_{n個})\times(\underbrace{b\times b\times\cdots\times b}_{n個})\\[0.5em]=&\underbrace{ab\times ab\times \cdots\times ab}_{n個}\\[0.5em]=&(ab)^n\end{align*}$

さらに整数

m

$m$ をもちいて

n < m

$n<m$ のとき

\begin{matrix} a^{n} b^{m} = & (a \times a \times \dots \times a      n 個) \times (b \times b \times \dots \times b      n 個) \times (b \times \dots \times b      m - n 個) = & a b \times a b \times \dots \times a b      n 個 \times (b \times \dots \times b      m - n 個) = & (a b)^{n} \times b^{m - n} \end{matrix}

$\begin{align*}&a^nb^m\\[0.5em]=&(\underbrace{a\times a\times\cdots\times a}_{n個})\times(\underbrace{b\times b\times\cdots\times b}_{n個})\times(\underbrace{b\times\cdots\times b}_{m-n個})\\[0.5em]=&\underbrace{ab\times ab\times \cdots\times ab}_{n個}\times(\underbrace{b\times\cdots\times b}_{m-n個})\\[0.5em]=&(ab)^n\times b^{m-n}\end{align*}$

n > m

$n>m$ のとき

\begin{matrix} a^{n} b^{m} = & (a \times a \times \dots \times a      m 個) \times (a \times \dots \times a      n - m 個) \times (b \times b \times \dots \times b      n 個) \times (b \times \dots \times b      m - n 個) = & a b \times a b \times \dots \times a b      m 個 \times (b \times \dots \times b      n - m 個) = & (a b)^{m} \times a^{n - m} \end{matrix}

$\begin{align*}&a^nb^m\\[0.5em]=&(\underbrace{a\times a\times\cdots\times a}_{m個})\times(\underbrace{a\times\cdots\times a}_{n-m個})\times(\underbrace{b\times b\times\cdots\times b}_{n個})\times(\underbrace{b\times\cdots\times b}_{m-n個})\\[0.5em]=&\underbrace{ab\times ab\times \cdots\times ab}_{m個}\times(\underbrace{b\times\cdots\times b}_{n-m個})\\[0.5em]=&(ab)^m\times a^{n-m}\end{align*}$

指数が同じもの同士の積は、底同士の積全体のべき乗にすることができます。

指数が異なる場合は指数が大きい方が余ります。

商

実数

a, b

$a,b$ 、整数

n

$n$ について

\begin{matrix} \frac{a^{n}}{b^{n}} & = \frac{n 個      a \times a \times \dots \times a}{b \times b \times \dots \times b      n 個} = \frac{a}{b} \times \frac{a}{b} \times \dots \times \frac{a}{b}      n 個 = {(\frac{a}{b})}^{n} \end{matrix}

$\begin{align*}\frac{a^n}{b^n}&=\frac{\overbrace{a\times a\times\cdots\times a}^{n個}}{\underbrace{b\times b\times\cdots\times b}_{n個}}\\[0.5em]&=\underbrace{\frac{a}{b}\times\frac{a}{b}\times\cdots\times\frac{a}{b}}_{n個}\\[0.5em]&=\left(\frac{a}{b}\right)^n\end{align*}$

さらに整数

m

$m$ をもちいて

n < m

$n<m$ のとき

\begin{matrix} \frac{a^{n}}{b^{m}} = & \frac{n 個      a \times a \times \dots \times a}{(b \times \dots \times b      n 個) \times (b \times \dots \times b      m - n 個)} = & ⎛ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ \frac{a}{b} \times \frac{a}{b} \times \dots \times \frac{a}{b}      n 個 ⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ \times \frac{1}{b \times \dots \times b      m - n 個} = & {(\frac{a}{b})}^{n} \times \frac{1}{b^{m - n}} = & {(\frac{a}{b})}^{n} \times b^{n - m} \end{matrix}

$\begin{align*}&\frac{a^n}{b^m}\\[0.5em]=&\frac{\overbrace{a\times a\times\cdots\times a}^{n個}}{(\underbrace{b\times\cdots\times b}_{n個})\times(\underbrace{b\times\cdots\times b}_{m-n個})}\\[0.5em]=&\left(\underbrace{\frac{a}{b}\times\frac{a}{b}\times\cdots\times\frac{a}{b}}_{n個}\right)\times\frac{1}{\underbrace{b\times\cdots\times b}_{m-n個}}\\[0.5em]=&\left(\frac{a}{b}\right)^n\times\frac{1}{b^{m-n}}\\[0.5em]=&\left(\frac{a}{b}\right)^n\times b^{n-m}\end{align*}$

$n>m$ のとき

$\begin{align*}&\frac{a^n}{b^m}\\[0.5em]=&\frac{(\overbrace{a\times\cdots\times a}^{m個})\times(\overbrace{a\times\cdots\times a}^{n-m個})}{(\underbrace{b\times b\times\cdots\times b}_{m個})}\\[0.5em]=&\left(\underbrace{\frac{a}{b}\times\frac{a}{b}\times\cdots\times\frac{a}{b}}_{m個}\right)\times(\underbrace{a\times\cdots\times a}_{n-m個})\\[0.5em]=&\left(\frac{a}{b}\right)^m\times a^{n-m}\end{align*}$

指数が同じ場合は底の商全体のべき乗にすることができます。

指数が異なる場合は指数が大きい方が余ります。

これらは

$m,n$ が実数でも成り立ちます。