底の異なる指数のついた数同士の積と商 ~ 数学について考えてみる

2022年6月2日

底の異なる指数のついた数同士の積と商

PLUMBAGO

　底の異なる指数のついた数同士の積と商はどのような変形ができるでしょうか？

積

実数

a, b

$a,b$ 、整数

n

$n$ について

$\begin{align*}&a^nb^n\\[0.5em]=&(\underbrace{a\times a\times\cdots\times a}_{n個})\times(\underbrace{b\times b\times\cdots\times b}_{n個})\\[0.5em]=&\underbrace{ab\times ab\times \cdots\times ab}_{n個}\\[0.5em]=&(ab)^n\end{align*}$

さらに整数

$m$ をもちいて

$n<m$ のとき

$\begin{align*}&a^nb^m\\[0.5em]=&(\underbrace{a\times a\times\cdots\times a}_{n個})\times(\underbrace{b\times b\times\cdots\times b}_{n個})\times(\underbrace{b\times\cdots\times b}_{m-n個})\\[0.5em]=&\underbrace{ab\times ab\times \cdots\times ab}_{n個}\times(\underbrace{b\times\cdots\times b}_{m-n個})\\[0.5em]=&(ab)^n\times b^{m-n}\end{align*}$

$n>m$ のとき

$\begin{align*}&a^nb^m\\[0.5em]=&(\underbrace{a\times a\times\cdots\times a}_{m個})\times(\underbrace{a\times\cdots\times a}_{n-m個})\times(\underbrace{b\times b\times\cdots\times b}_{n個})\times(\underbrace{b\times\cdots\times b}_{m-n個})\\[0.5em]=&\underbrace{ab\times ab\times \cdots\times ab}_{m個}\times(\underbrace{b\times\cdots\times b}_{n-m個})\\[0.5em]=&(ab)^m\times a^{n-m}\end{align*}$

指数が同じもの同士の積は、底同士の積全体のべき乗にすることができます。

指数が異なる場合は指数が大きい方が余ります。

商

実数

$a,b$ 、整数

$n$ について

$\begin{align*}\frac{a^n}{b^n}&=\frac{\overbrace{a\times a\times\cdots\times a}^{n個}}{\underbrace{b\times b\times\cdots\times b}_{n個}}\\[0.5em]&=\underbrace{\frac{a}{b}\times\frac{a}{b}\times\cdots\times\frac{a}{b}}_{n個}\\[0.5em]&=\left(\frac{a}{b}\right)^n\end{align*}$

さらに整数

$m$ をもちいて

$n<m$ のとき

$\begin{align*}&\frac{a^n}{b^m}\\[0.5em]=&\frac{\overbrace{a\times a\times\cdots\times a}^{n個}}{(\underbrace{b\times\cdots\times b}_{n個})\times(\underbrace{b\times\cdots\times b}_{m-n個})}\\[0.5em]=&\left(\underbrace{\frac{a}{b}\times\frac{a}{b}\times\cdots\times\frac{a}{b}}_{n個}\right)\times\frac{1}{\underbrace{b\times\cdots\times b}_{m-n個}}\\[0.5em]=&\left(\frac{a}{b}\right)^n\times\frac{1}{b^{m-n}}\\[0.5em]=&\left(\frac{a}{b}\right)^n\times b^{n-m}\end{align*}$

$n>m$ のとき

$\begin{align*}&\frac{a^n}{b^m}\\[0.5em]=&\frac{(\overbrace{a\times\cdots\times a}^{m個})\times(\overbrace{a\times\cdots\times a}^{n-m個})}{(\underbrace{b\times b\times\cdots\times b}_{m個})}\\[0.5em]=&\left(\underbrace{\frac{a}{b}\times\frac{a}{b}\times\cdots\times\frac{a}{b}}_{m個}\right)\times(\underbrace{a\times\cdots\times a}_{n-m個})\\[0.5em]=&\left(\frac{a}{b}\right)^m\times a^{n-m}\end{align*}$

指数が同じ場合は底の商全体のべき乗にすることができます。

指数が異なる場合は指数が大きい方が余ります。

これらは

$m,n$ が実数でも成り立ちます。