2つの関数f(x),g(x)f(x),g(x)同士を掛けたり割ったりしたものの微分、積の微分・商の微分は以下のようになります。
{f(x)g(x)}′=f′(x)g(x)+f(x)g′(x){f(x)g(x)}′=f′(x)g(x)−f(x)g′(x){g(x)}2{1g(x)}′=−g′(x){g(x)}2{f(x)g(x)}′=f′(x)g(x)+f(x)g′(x){f(x)g(x)}′=f′(x)g(x)−f(x)g′(x){g(x)}2{1g(x)}′=−g′(x){g(x)}2
なぜこのようになるのでしょうか?
積の微分
微分の定義に従うと
{f(x)g(x)}′=limh→0f(x+h)g(x+h)−f(x)g(x)h{f(x)g(x)}′=limh→0f(x+h)g(x+h)−f(x)g(x)h
ここで分子にf(x)g(x+h)f(x)g(x+h)を付け足して取り除くと
{f(x)g(x)}′=limh→0f(x+h)g(x+h)+{f(x)g(x+h)−f(x)g(x+h)}−f(x)g(x)h=limh→0{f(x+h)g(x+h)−f(x)g(x+h)}+{f(x)g(x+h)−f(x)g(x)}h=limh→0{f(x+h)−f(x)hg(x+h)+g(x+h)−g(x)hf(x)}{f(x)g(x)}′=limh→0f(x+h)g(x+h)+{f(x)g(x+h)−f(x)g(x+h)}−f(x)g(x)h=limh→0{f(x+h)g(x+h)−f(x)g(x+h)}+{f(x)g(x+h)−f(x)g(x)}h=limh→0{f(x+h)−f(x)hg(x+h)+g(x+h)−g(x)hf(x)}
h→0h→0のとき
f(x+h)−f(x)h→f′(x), g(x+h)−g(x)h→g′(x),g(x+h)→g(x)f(x+h)−f(x)h→f′(x), g(x+h)−g(x)h→g′(x),g(x+h)→g(x)
なので、
{f(x)g(x)}′=f′(x)g(x)+f(x)g′(x){f(x)g(x)}′=f′(x)g(x)+f(x)g′(x)
となります。
商の微分
微分の定義に従うと
{f(x)g(x)}′=limh→0f(x+h)g(x+h)−f(x)g(x)h=limh→0f(x+h)g(x)−f(x)g(x+h)g(x+h)g(x)h=limh→0f(x+h)g(x)−f(x)g(x+h)h⋅g(x+h)g(x){f(x)g(x)}′=limh→0f(x+h)g(x+h)−f(x)g(x)h=limh→0f(x+h)g(x)−f(x)g(x+h)g(x+h)g(x)h=limh→0f(x+h)g(x)−f(x)g(x+h)h⋅g(x+h)g(x)
ここで分子にf(x+h)g(x+h)f(x+h)g(x+h)を付け足して取り除くと
{f(x)g(x)}′=limh→0f(x+h)g(x)+{f(x+h)g(x+h)−f(x+h)g(x+h)}−f(x)g(x+h)h⋅g(x+h)g(x)=limh→0{f(x+h)g(x)−f(x+h)g(x+h)}+{f(x+h)g(x+h)−f(x)g(x+h)}h⋅g(x+h)g(x)=limh→0{f(x+h)g(x+h)−f(x)g(x+h)}−{f(x+h)g(x+h)−f(x+h)g(x)}h⋅g(x+h)g(x)=limh→01g(x+h)g(x){f(x+h)−f(x)hg(x+h)−g(x+h)−g(x)hf(x+h)}{f(x)g(x)}′=limh→0f(x+h)g(x)+{f(x+h)g(x+h)−f(x+h)g(x+h)}−f(x)g(x+h)h⋅g(x+h)g(x)=limh→0{f(x+h)g(x)−f(x+h)g(x+h)}+{f(x+h)g(x+h)−f(x)g(x+h)}h⋅g(x+h)g(x)=limh→0{f(x+h)g(x+h)−f(x)g(x+h)}−{f(x+h)g(x+h)−f(x+h)g(x)}h⋅g(x+h)g(x)=limh→01g(x+h)g(x){f(x+h)−f(x)hg(x+h)−g(x+h)−g(x)hf(x+h)}
h→0h→0のとき
f(x+h)−f(x)h→f′(x), g(x+h)−g(x)h→g′(x),f(x+h)→f(x), g(x+h)→g(x)f(x+h)−f(x)h→f′(x), g(x+h)−g(x)h→g′(x),f(x+h)→f(x), g(x+h)→g(x)
なので
{f(x)g(x)}′=f′(x)g(x)−f(x)g′(x){g(x)}2{f(x)g(x)}′=f′(x)g(x)−f(x)g′(x){g(x)}2
となります。
特にf(x)=1f(x)=1のときf′(x)=0f′(x)=0なので
{1g(x)}′=0⋅g(x)−1⋅g′(x){g(x)}2=−g′(x){g(x)}2{1g(x)}′=0⋅g(x)−1⋅g′(x){g(x)}2=−g′(x){g(x)}2
となります。
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