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2022年6月5日

積の微分・商の微分

 2つの関数f(x),g(x)f(x),g(x)同士を掛けたり割ったりしたものの微分、積の微分・商の微分は以下のようになります。
{f(x)g(x)}=f(x)g(x)+f(x)g(x){f(x)g(x)}=f(x)g(x)f(x)g(x){g(x)}2{1g(x)}=g(x){g(x)}2{f(x)g(x)}=f(x)g(x)+f(x)g(x){f(x)g(x)}=f(x)g(x)f(x)g(x){g(x)}2{1g(x)}=g(x){g(x)}2
なぜこのようになるのでしょうか?

積の微分

 微分の定義に従うと
{f(x)g(x)}=limh0f(x+h)g(x+h)f(x)g(x)h{f(x)g(x)}=limh0f(x+h)g(x+h)f(x)g(x)h
ここで分子にf(x)g(x+h)f(x)g(x+h)を付け足して取り除くと
{f(x)g(x)}=limh0f(x+h)g(x+h)+{f(x)g(x+h)f(x)g(x+h)}f(x)g(x)h=limh0{f(x+h)g(x+h)f(x)g(x+h)}+{f(x)g(x+h)f(x)g(x)}h=limh0{f(x+h)f(x)hg(x+h)+g(x+h)g(x)hf(x)}{f(x)g(x)}=limh0f(x+h)g(x+h)+{f(x)g(x+h)f(x)g(x+h)}f(x)g(x)h=limh0{f(x+h)g(x+h)f(x)g(x+h)}+{f(x)g(x+h)f(x)g(x)}h=limh0{f(x+h)f(x)hg(x+h)+g(x+h)g(x)hf(x)}
h0h0のとき
f(x+h)f(x)hf(x), g(x+h)g(x)hg(x),g(x+h)g(x)f(x+h)f(x)hf(x), g(x+h)g(x)hg(x),g(x+h)g(x)
なので、
{f(x)g(x)}=f(x)g(x)+f(x)g(x){f(x)g(x)}=f(x)g(x)+f(x)g(x)
となります。

商の微分

 微分の定義に従うと
{f(x)g(x)}=limh0f(x+h)g(x+h)f(x)g(x)h=limh0f(x+h)g(x)f(x)g(x+h)g(x+h)g(x)h=limh0f(x+h)g(x)f(x)g(x+h)hg(x+h)g(x){f(x)g(x)}=limh0f(x+h)g(x+h)f(x)g(x)h=limh0f(x+h)g(x)f(x)g(x+h)g(x+h)g(x)h=limh0f(x+h)g(x)f(x)g(x+h)hg(x+h)g(x)
ここで分子にf(x+h)g(x+h)f(x+h)g(x+h)を付け足して取り除くと
{f(x)g(x)}=limh0f(x+h)g(x)+{f(x+h)g(x+h)f(x+h)g(x+h)}f(x)g(x+h)hg(x+h)g(x)=limh0{f(x+h)g(x)f(x+h)g(x+h)}+{f(x+h)g(x+h)f(x)g(x+h)}hg(x+h)g(x)=limh0{f(x+h)g(x+h)f(x)g(x+h)}{f(x+h)g(x+h)f(x+h)g(x)}hg(x+h)g(x)=limh01g(x+h)g(x){f(x+h)f(x)hg(x+h)g(x+h)g(x)hf(x+h)}{f(x)g(x)}=limh0f(x+h)g(x)+{f(x+h)g(x+h)f(x+h)g(x+h)}f(x)g(x+h)hg(x+h)g(x)=limh0{f(x+h)g(x)f(x+h)g(x+h)}+{f(x+h)g(x+h)f(x)g(x+h)}hg(x+h)g(x)=limh0{f(x+h)g(x+h)f(x)g(x+h)}{f(x+h)g(x+h)f(x+h)g(x)}hg(x+h)g(x)=limh01g(x+h)g(x){f(x+h)f(x)hg(x+h)g(x+h)g(x)hf(x+h)}
h0h0のとき
f(x+h)f(x)hf(x), g(x+h)g(x)hg(x),f(x+h)f(x), g(x+h)g(x)f(x+h)f(x)hf(x), g(x+h)g(x)hg(x),f(x+h)f(x), g(x+h)g(x)
なので
{f(x)g(x)}=f(x)g(x)f(x)g(x){g(x)}2{f(x)g(x)}=f(x)g(x)f(x)g(x){g(x)}2
となります。

 特にf(x)=1f(x)=1のときf(x)=0f(x)=0なので
{1g(x)}=0g(x)1g(x){g(x)}2=g(x){g(x)}2{1g(x)}=0g(x)1g(x){g(x)}2=g(x){g(x)}2
となります。

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