2つの関数$f(x),g(x)$同士を掛けたり割ったりしたものの微分、積の微分・商の微分は以下のようになります。
\begin{align*}\{f(x)g(x)\}'&=f'(x)g(x)+f(x)g'(x)\\[1.5em]\left\{\frac{f(x)}{g(x)}\right\}'&=\frac{f'(x)g(x)-f(x)g'(x)}{\{g(x)\}^2}\\[1.5em]\left\{\frac{1}{g(x)}\right\}'&=-\frac{g'(x)}{\{g(x)\}^2}\end{align*}
なぜこのようになるのでしょうか？
積の微分
微分の定義に従うと
\[\{f(x)g(x)\}'=\lim_{h\to0}\frac{f(x+h)g(x+h)-f(x)g(x)}{h}\]
ここで分子に$f(x)g(x+h)$を付け足して取り除くと
\begin{align*}&\{f(x)g(x)\}'\\[0.5em]&=\lim_{h\to0}\frac{f(x+h)g(x+h)+\{f(x)g(x+h)-f(x)g(x+h)\}-f(x)g(x)}{h}\\[0.5em]&=\lim_{h\to0}\frac{\{f(x+h)g(x+h)-f(x)g(x+h)\}+\{f(x)g(x+h)-f(x)g(x)\}}{h}\\[0.5em]&=\lim_{h\to0}\left\{\frac{f(x+h)-f(x)}{h}g(x+h)+\frac{g(x+h)-g(x)}{h}f(x)\right\}\end{align*}
$h\to0$のとき
\begin{gather*}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}\to f'(x),\ \frac{g(x+h)-g(x)}{h}\to
g'(x),\\[0.5em]g(x+h)\to g(x)\end{gather*}
なので、
\[\{f(x)g(x)\}'=f'(x)g(x)+f(x)g'(x)\]
となります。
商の微分
微分の定義に従うと
\begin{align*}&\left\{\frac{f(x)}{g(x)}\right\}'\\[0.5em]&=\lim_{h\to0}\cfrac{\cfrac{f(x+h)}{g(x+h)}-\cfrac{f(x)}{g(x)}}{h}\\[0.5em]&=\lim_{h\to0}\cfrac{\cfrac{f(x+h)g(x)-f(x)g(x+h)}{g(x+h)g(x)}}{h}\\[0.5em]&=\lim_{h\to0}\frac{f(x+h)g(x)-f(x)g(x+h)}{h\cdot
g(x+h)g(x)}\end{align*}
ここで分子に$f(x+h)g(x+h)$を付け足して取り除くと
\begin{align*}&\left\{\frac{f(x)}{g(x)}\right\}'\\[0.5em]&=\lim_{h\to0}\frac{f(x+h)g(x)+\{f(x+h)g(x+h)-f(x+h)g(x+h)\}-f(x)g(x+h)}{h\cdot
g(x+h)g(x)}\\[0.5em]&=\lim_{h\to0}\frac{\{f(x+h)g(x)-f(x+h)g(x+h)\}+\{f(x+h)g(x+h)-f(x)g(x+h)\}}{h\cdot
g(x+h)g(x)}\\[0.5em]&=\lim_{h\to0}\frac{\{f(x+h)g(x+h)-f(x)g(x+h)\}-\{f(x+h)g(x+h)-f(x+h)g(x)\}}{h\cdot
g(x+h)g(x)}\\[0.5em]&=\lim_{h\to0}\frac{1}{g(x+h)g(x)}\left\{\frac{f(x+h)-f(x)}{h}g(x+h)-\frac{g(x+h)-g(x)}{h}f(x+h)\right\}\end{align*}
$h\to0$のとき
\begin{gather*}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}\to f'(x),\ \frac{g(x+h)-g(x)}{h}\to
g'(x),\\[0.5em]f(x+h)\to f(x),\ g(x+h)\to g(x)\end{gather*}
なので
\[\left\{\frac{f(x)}{g(x)}\right\}'=\frac{f'(x)g(x)-f(x)g'(x)}{\{g(x)\}^2}\]
となります。
特に$f(x)=1$のとき$f'(x)=0$なので
\[\left\{\frac{1}{g(x)}\right\}'=\frac{0\cdot g(x)-1\cdot
g'(x)}{\{g(x)\}^2}=-\frac{g'(x)}{\{g(x)\}^2}\]
となります。
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