指数関数の微分いろいろ

指数関数の微分

　指数関数$a^x$ （$a>0$かつ$a\neq1$）の微分は

$a=e$（$e:$ネイピア数）のとき

$$(e^x)'=e^x$$

$a\neq e$のとき

$$(a^x)'=a^x\log_e{a}$$

となります。

関連：$(e^x)'=e^x$であることを確かめるためには

$a^{g(x)}$の微分

　$a^{g(x)}$は$f(t)=a^t$と$t=g(x)$の合成関数なので、これの微分は

$a=e$のとき

$$\{e^{g(x)}\}'=e^{g(x)}g'(x)$$

$a\neq e$のとき

$$\{a^{g(x)}\}'=a^{g(x)}g'(x)\log_e{a}$$

となります。

例：

$$\begin{align*}e^{\cos x}&=e^{\cos x}(\cos x)'\\[0.5em]&=-\sin x e^{\cos x}\quad(\because(\cos x)'=-\sin x)\\[1.5em]a^{x^2}&=a^{x^2}(x^2)'\\[0.5em]&=2xa^{x^2}\log_e{a}\end{align*}$$

$f(a^x)$の微分

　$f(a^x)$は$f(t)$と$t=a^x$の合成関数なので、これの微分は

$a=e$のとき

$$\begin{align*}\{f(e^x)\}'&=f(e^x)(e^x)'\\[0.5em]&=f'(e^x)e^x\end{align*}$$

$a\neq e$のとき

$$\begin{align*}\{f(a^x)\}'&=f'(a^x)(a^x)'\\[0.5em]&=f'(a^x)a^x\log_e{a}\end{align*}$$

となります。

例：

$$\begin{align*}\{\log_2{e^x}\}'&=\frac{(e^x)'}{e^x\log_e{2}}\quad(\because(\log_a{|t|})'=\frac{1}{t\log_e{a}})\\[0.5em]&=\frac{e^x}{e^x\log_e{2}}=\frac{1}{\log_e{2}}\\[1.5em]\{\tan(a^x)\}'&=\frac{(a^x)'}{\cos^2(a^x)}\quad(\because(\tan t)'=\frac{1}{\cos^2t})\\[0.5em]&=\frac{a^x\log_e{a}}{\cos^2(a^x)}\end{align*}$$

関連：合成関数の微分