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2022年6月17日

2次方程式の両辺をxで割って解いてはいけないのはナゼ?

\Large x^2-6x=0
という2次方程式を解くとき、両辺をxで割って
\begin{align*}x-6&=0\\[0.5em] x&=6\end{align*}
としてはならないのはなぜでしょうか?

 正しい手順で解くと、因数分解して
x(x-6)=0
これが成り立つのはx=0,x-6=0のいずれかであるときなので、
x=0,6
が解となります。
2つの解き方を比較すると間違った解き方ではx=0がありません。それはなぜなのかについて考えます。

\begin{equation}x^2-6x=0\end{equation}
という2次方程式を解くとは、「”すべての実数の中で”この方程式を成り立たせることができる適切なxの値をすべて求める」ことということができます。この「すべての実数の中で」というのが重要となります。
両辺をxで割ると
\frac{x^2-6x}{x}=\frac{0}{x}
と書けますが、ここで実数の中で分母に入れることができない数があります。
それは0です。0で割ることはできないからです。
\begin{equation}x-6=0\end{equation}
したがって、(1)の両辺をxで割って上式に変形できるのはx0以外のときなので、両辺をxで割ったあとのこの方程式を解くとは、「”0を除く実数の中で”この方程式を成り立たせることができる適切なxの値をすべて求める」となります。
0を除く実数の中で」とあるので、(1)を解くには(2)を解くだけでは不十分です。(1)で要求されているのは「すべての実数の中で適切なxをすべて求める」ことなので、割り算の都合上切り捨てられてしまったx=0のときについても考える必要があります。
(2)を解くと
x=6
(1)x=0を代入して
\begin{align*}(左辺)&=0^2-6\cdot0\\[0.5em]&=0=(右辺)\end{align*}
となりx=0のとき(1)が成り立つのでx=0も解となります。
したがって、両辺をxで割って解く方法で得られる解も正しい手順の場合同様x=0,6となります。

 以上から、実はxのとれる値に注意すれば両辺をxで割っても2次方程式を解くことができることがわかります。
この方法が誤りとされるのは、xのとれる値の範囲が割る前後で変わっていることに気付かずに解いてしまうからなのです。


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