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2024年6月14日

2次方程式を解く②(因数分解を利用する)

 2次方程式は因数分解を利用して解くことができます。


 2次方程式の右辺を0、すなわちax^2+bx+c=0a,b,c:定数、a\neq0)という形にしてからa(x-p)(x-q)=0p,q:定数)という形に因数分解できたとき、積の性質から2次方程式の解を求めることができます。
積が0になる条件は、少なくとも1つの因数が0であることです。
a0でないのでa(x-p)(x-q)=0が成り立つ条件は
  1. x-p=0かつx-q=0
  2. x-p=0またはx-q=0
の2通りとなります。
それぞれの場合における2次方程式a(x-p)(x-q)=0の解は以下のようになります。

1. x-p=0かつx-q=0

 これはx-px-qが同時に0となるようなxの値の場合、すなわちp=qのときなので因数分解後の2次方程式はa(x-p)^2=0という形になります。
このときの2次方程式の解は
x=p
ただ1つとなります。この解のことを重解といいます。

2. x-p=0またはx-q=0

 これはx-px-qのどちらかが0となるようなxの値の場合です。
x=pのときx-p=0に、x=qのときx-q=0になるので、このときの2次方程式の解は
x=pまたはx=q
別の書き方で
x=p,q
となります。

ちなみに、なぜ右辺を0にするのかというと上記の2通りの場合に限定できるからです。
例えば、右辺を2にすると積が2になる条件を考えることになります。
積が2になる因数の組を(x-p,x-q)と表すことにすると、整数の範囲では(-2,-1),(-1,-2),(1,2),(2,1)の4通りが存在します。しかし、実際には因数の組は整数の範囲と限定されていないので\left(\dfrac{1}{2},4\right)\left(\sqrt{2},\sqrt{2}\right)のような有理数、無理数の組が無数に存在します。
これら無数の因数の組の中で2つの因数の差(x-p)-(x-q)=q-pを満たすものが2次方程式の解となるのですが、それを探すのは困難で、積の条件が限定されている0のほうが簡単に解を見つけることができます。

 例として2次方程式2x^2+2x-12=0を因数分解を利用して解いてみます。
左辺を因数分解すると
\begin{align*}2x^2+2x-12&=0\\[0.5em]2(x^2+x-6)&=0\\[0.5em]2(x+2)(x-3)&=0\end{align*}
となります。
これは2.の場合に当てはまるので、この2次方程式の解はx=-2,3となります。

 この2次方程式の解き方は因数分解が容易な場合でないと使えない方法のように思われますが、平方完成と組み合わせてもちいるとどのような2次方程式でもこの方法で解くことができます。
例として2次方程式3x^2-7x+3=0を解いてみます。
両辺をx^2の係数で割ってから左辺を平方完成すると
\begin{align*}3x^2-7x+3&=0\\[0.5em]x^2-\frac{7}{3}x+1&=0\\[0.5em]\left[\left\{x^2-\frac{7}{3}x+\left(-\frac{7}{6}\right)^2\right\}-\left(-\frac{7}{6}\right)^2\right]+1&=0\\[0.5em]\left\{x^2-\frac{7}{3}x+\left(-\frac{7}{6}\right)^2\right\}-\frac{49}{36}+1&=0\\[0.5em]\left\{x^2-\frac{7}{3}x+\left(-\frac{7}{6}\right)^2\right\}-\frac{13}{36}&=0\\[0.5em]\left(x-\frac{7}{6}\right)^2-\frac{13}{36}&=0\end{align*}
定数項をその平方根の2乗の形に変形し、因数分解公式x^2-a^2=(x+a)(x-a)を利用すると
\begin{align*}\left(x-\frac{7}{6}\right)^2-\left(\frac{\sqrt{13}}{6}\right)^2&=0\\[0.5em]\left\{\left(x-\frac{7}{6}\right)+\frac{\sqrt{13}}{6}\right\}\left\{\left(x-\frac{7}{6}\right)-\frac{\sqrt{13}}{6}\right\}&=0\\[0.5em]\left(x-\frac{7-\sqrt{13}}{6}\right)\left(x-\frac{7+\sqrt{13}}{6}\right)&=0\\[0.5em]x=\frac{7-\sqrt{13}}{6},\frac{7+\sqrt{13}}{6}\\[0.5em]\left(x=\frac{7\pm\sqrt{13}}{6}\right)\end{align*}
となり、解くことができます。

任意の2次方程式ax^2+bx+c=0a,b,c:定数、a\neq0)をこの方法で解くと
\begin{align*}ax^2+bx+c&=0\\[0.5em]x^2+\frac{b}{a}x+\frac{c}{a}&=0\\[0.5em]\left(x^2+\frac{b}{a}x\right)+\frac{c}{a}&=0\\[0.5em]\left[\left\{x^2+\frac{b}{a}x+\left(\frac{b}{2a}\right)^2\right\}-\left(\frac{b}{2a}\right)^2\right]+\frac{c}{a}&=0\\[0.5em]\left\{\left(x^2+\frac{b}{a}x+\frac{b^2}{4a^2}\right)-\frac{b^2}{4a^2}\right\}+\frac{c}{a}&=0\\[0.5em]\left(x^2+\frac{b}{a}x+\frac{b^2}{4a^2}\right)-\frac{b^2}{4a^2}+\frac{c}{a}&=0\\[0.5em]\left(x^2+\frac{b}{a}x+\frac{b^2}{4a^2}\right)-\frac{b^2-4ac}{4a^2}&=0\\[0.5em]\left(x+\frac{b}{2a}\right)^2-\frac{b^2-4ac}{4a^2}&=0\\[0.5em]\left(x+\frac{b}{2a}\right)^2-\left(\frac{\sqrt{b^2-4ac}}{2a}\right)^2&=0\\[0.5em]\left\{\left(x+\frac{b}{2a}\right)+\left(\frac{\sqrt{b^2-4ac}}{2a}\right)\right\}\left\{\left(x+\frac{b}{2a}\right)-\left(\frac{\sqrt{b^2-4ac}}{2a}\right)\right\}&=0\\[0.5em]\left(x+\frac{b+\sqrt{b^2-4ac}}{2a}\right)\left(x+\frac{b-\sqrt{b^2-4ac}}{2a}\right)&=0\\[0.5em]\left(x-\frac{-b-\sqrt{b^2-4ac}}{2a}\right)\left(x-\frac{-b+\sqrt{b^2-4ac}}{2a}\right)&=0\\[0.5em]x=\frac{-b-\sqrt{b^2-4ac}}{2a},\frac{-b+\sqrt{b^2-4ac}}{2a}\\[0.5em]\left(x=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}\right)\end{align*}
となり、これが2次方程式の解の公式となります。

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