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2024年1月19日

数列の和と因数分解公式

「次のSSを求めよ。
(1)ai=pniqi1ai=pniqi1とする。(ただし、n:,p1q1n:,p1q1
S=nj=1aiS=nj=1ai

(2)ai=p2(ni)q2(i1),bi=p2(ni)1q2i1ai=p2(ni)q2(i1),bi=p2(ni)1q2i1とする。(ただし、n:,p1q1n:,p1q1
S=nj=1ain1j=ibiS=nj=1ain1j=ibi


(1)S=nj=1aiS=nj=1ai

 数列aiaiの初項から第nn項までの中からいくつかの項を抜粋してみると以下のようになります。
a1=pn1q11=pn1a2=pn2q21=pn2qa3=pn3q31=pn3q2an1=pn(n1)q(n1)1=pqn2an=pnnqn=qn1
a1=pn1、どの項もp1q倍したものが次の項になっていることよりaiは初項がpn1、公比がp1qの等比数列であることがわかります。
Sは数列aiの初項から第n項までの和でありp1q1なので、等比数列の和の公式
nj=1arj1=a(1rn)1r(a:,r:,n:)
より
S=pn1{1(p1q)n}1p1q=pn1(1pnqn)1p1q=pn1pn1pnqn1p1q=pn1p(n1)nqn1p1q=pn1p1qn1p1q=pn1p1qn1p1qpp=pnqnpq
となります。
(等比数列の和の公式
nj=1arj1=a(rn1)r1
のほうから求められるqnpnqpでも構いません。)

 等比数列の和の公式を使わない場合S
S=pn1+pn2q++pqn2+qn1
となるため、
pnqnpq=pn1+pn2q++pqn2+qn1
が成り立ちます。
これの両辺にpqを掛けると
pnqn=(pq)(pn1+pn2q++pqn2+qn1)
となります。
(a)にはまだp1q1という条件がついているのですが、この条件に関わらず(a)が成り立つことを確かめます。そのためにはp1q1と同値の「pqかつp0」の否定「p=qまたはp=0」のとき(a)が成り立つかどうかを調べます。
(a)p=qを代入すると
()=pnpn=0()=(pp)(pn1+pn1++pn1+pn1)=0
(a)p=0を代入すると
()=0nqn=qn()=(0q)(0+0++0+qn1)=qqn1=qn
()=()となるため「p=qまたはp=0」のとき(a)は成り立つ、すなわち(a)は任意の実数p,qで成り立つことがわかります。
この
pnqn=(pq)(pn1+pn2q++pqn2+qn1)(p,q:,n:)
pnqnの因数分解公式となります。
例えば、n=2のとき
p2q2=(pq)(p21+q21)=(pq)(p+q)
となってp2q2の因数分解公式があらわれ、
n=3のとき
p3q3=(pq)(p31+p32q32+q31)=(pq)(p2+pq+q2)
となってp3q3の因数分解公式があらわれます。

(2)S=nj=1ain1j=ibi

 数列aiの初項から第n項までの中からいくつかの項を抜粋してみると以下のようになります。
a1=p2(n1)q2(11)=p2(n1)a2=p2(n2)q2(21)=p2(n2)q2an1=p2{n(n1)}q2{(n1)1}=p2q2(n2)an=p2(nn)q2(n1)=q2(n1)
a1=p2(n1)、どの項もp2q2倍したものが次の項になっていることよりaiは初項がp2(n1)、公比がp2q2の等比数列であることがわかります。
 数列biの初項から第n1項までの中からいくつかの項を抜粋してみると以下のようになります。
b1=p2(n1)1q211=p2(n1)1qb2=p2(n2)1q221=p2(n2)1q3bn2=p2{n(n2)}1q2(n2)1=p3q2(n2)1bn1=p2{n(n1)}1q2(n1)1=pq2(n1)1
b1=p2(n1)1q、どの項もp2q2倍したものが次の項になっていることよりbiは初項がp2(n1)1、公比がp2q2の等比数列であることがわかります。
数列aiの初項から第n項までの和をSa、数列biの初項から第n1項までの和をSbとすると、与えられた条件よりp1q1ならばp2q21なので等比数列の和の公式より
Sa=p2(n1){1(p2q2)n}1p2q2=p2(n1)(1p2nq2n)1p2q2=p2(n1)p2q2n1p2q2=p2(n1)p2q2n1p2q2p2p2=p2nq2np2q2Sb=p2(n1)1q{1(p2q2)n1}1p2q2=p2(n1)1q(1p2(n1)q2(n1))1p2q2=p2(n1)1qp1q2n11p2q2=p2(n1)1qp1q2n11p2q2p2p2=p2n1qpq2n1p2q2
となります。
したがって、S=SaSbより
S=p2nq2np2q2p2n1qpq2n1p2q2=p2nq2n(p2n1qpq2n1)p2q2=p2nq2np2n1q+pq2n1p2q2=pp2n1qq2n1qp2n1+pq2n1p2q2=(pq)p2n1+(pq)q2n1p2q2=(pq)(p2n1+q2n1)(pq)(p+q)=p2n1+q2n1p+q
となります。

 等比数列の和を使わない場合Sa,Sbはそれぞれ
Sa=p2(n1)+p2(n2)q2++p2q2(n2)+q2(n1)Sb=p2(n1)1q+p2(n2)1q3++p3q2(n2)1+pq2(n1)1
となるためS
S=(p2(n1)+p2(n2)q2++p2q2(n2)+q2(n1))(p2(n1)1q+p2(n2)1q3++p3q2(n2)1+pq2(n1)1)=p2(n1)p2(n1)1q+p2(n2)q2p2(n2)1q3+p3q2(n2)1+p2q2(n2)pq2(n1)1+q2(n1)
となり、
p2n1+q2n1p+q=p2(n1)p2(n1)1q+p2(n2)q2p2(n2)1q3+p3q2(n2)1+p2q2(n2)pq2(n1)1+q2(n1)
が成り立ちます。
これの両辺にp+qを掛けると
p2n1+q2n1=(p+q)(p2(n1)p2(n1)1q+pq2(n1)1+q2(n1))
となります。
(a)と同様(b)にはまだp1q1という条件がついているので、これと同値な「pqかつp0」の否定においても成り立つことを確かめます。
(b)p=qを代入すると
()=p2n1+p2n1=2p2n1()=(p+p)(p2(n1)p2(n1)+p2(n1)+p2(n1))=2p{n1(p2(n1)p2(n1))++(p2(n1)p2(n1))+p2(n1)}=2pp2(n1)=2p2n1
(b)p=0を代入すると
()=02n1+q2n1=q2n1()=(0+q)(00+0+q2(n1))=qq2(n1)=q2n1
となるため、(b)は任意の実数p,qで成り立つことがわかります。
この
p2n1+q2n1=(p+q)(p2(n1)p2(n1)1q+pq2(n1)1+q2(n1))(p,q:,n:)
p2n1+q2n1の因数分解公式となります。
p,qの指数である2n1は奇数である点に注意です。
例えば、n=2のとき
p221+q221=(p+q)(p2(21)p2(21)1q2(n1)1+q2(21))p3+q3=(p+q)(p2pq+q2)
となってp3+q3の因数分解公式があらわれ、
n=3のとき
p231+q231=(p+q)(p2(31)p2(32)q2(32)1+p2(32)1q2(32)p2(32)1q2(31)1+q2(31))p5+q5=(p+q)(p4p3q+p2q2pq3+q4)
となり、これはp5+q5の因数分解公式となります。

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