数列の和と因数分解公式

「次の$S$を求めよ。

(1)$a_i=p^{n-i}q^{i-1}$とする。（ただし、$n:自然数,p^{-1}q\neq1$）
$S=\sum_{j=1}^n{a_i}$

(2)$a_i=p^{2(n-i)}q^{2(i-1)},b_i=p^{2(n-i)-1}q^{2i-1}$とする。（ただし、$n:自然数,p^{-1}q\neq1$）
$S=\sum_{j=1}^n{a_i}-\sum_{j=i}^{n-1}{b_i}$」

(1)$S=\sum_{j=1}^n{a_i}$

　数列$a_i$の初項から第$n$項までの中からいくつかの項を抜粋してみると以下のようになります。

$$\begin{align*}a_1&=p^{n-1}q^{1-1}\\[0.5em]&=p^{n-1}\\[1em]a_2&=p^{n-2}q^{2-1}\\[0.5em]&=p^{n-2}q\\[1em]a_3&=p^{n-3}q^{3-1}\\[0.5em]&=p^{n-3}q^2\\ &\qquad\vdots\\ a_{n-1}&=p^{n-(n-1)}q^{(n-1)-1}\\[0.5em]&=pq^{n-2}\\[1em]a_n&=p^{n-n}q^n\\[0.5em]&=q^{n-1}\end{align*}$$

$a_1=p^{n-1}$、どの項も$p^{-1}q$倍したものが次の項になっていることより$a_i$は初項が$p^{n-1}$、公比が$p^{-1}q$の等比数列であることがわかります。

$S$は数列$a_i$の初項から第$n$項までの和であり$p^{-1}q\neq1$なので、等比数列の和の公式

$$\begin{align*}\sum_{j=1}^n{ar^{j-1}}&=\frac{a(1-r^n)}{1-r}\\ &\quad(a:初項,r:公比,n:項数)\end{align*}$$

より

$$\begin{align*}S&=\frac{p^{n-1}\bigl\{1-(p^{-1}q)^n\bigr\}}{1-p^{-1}q}\\[0.5em]&=\frac{p^{n-1}(1-p^{-n}q^n)}{1-p^{-1}q}\\[0.5em]&=\frac{p^{n-1}-p^{n-1}p^{-n}q^n}{1-p^{-1}q}\\[0.5em]&=\frac{p^{n-1}-p^{(n-1)-n}q^n}{1-p^{-1}q}\\[0.5em]&=\frac{p^{n-1}-p^{-1}q^n}{1-p^{-1}q}\\[0.5em]&=\frac{p^{n-1}-p^{-1}q^n}{1-p^{-1}q}\cdot\frac{p}{p}\\[0.5em]&=\frac{p^n-q^n}{p-q}\end{align*}$$

となります。

（等比数列の和の公式

$$\sum_{j=1}^n{ar^{j-1}}=\frac{a(r^n-1)}{r-1}$$

のほうから求められる$\dfrac{q^n-p^n}{q-p}$でも構いません。）

　等比数列の和の公式を使わない場合$S$は

$$S=p^{n-1}+p^{n-2}q+\cdots+pq^{n-2}+q^{n-1}$$

となるため、

$$\frac{p^n-q^n}{p-q}=p^{n-1}+p^{n-2}q+\cdots+pq^{n-2}+q^{n-1}$$

が成り立ちます。

これの両辺に$p-q$を掛けると

$$p^n-q^n=(p-q)(p^{n-1}+p^{n-2}q+\cdots+pq^{n-2}+q^{n-1})\tag{a}$$

となります。

$\text{(a)}$にはまだ$p^{-1}q\neq1$という条件がついているのですが、この条件に関わらず$\text{(a)}$が成り立つことを確かめます。そのためには$p^{-1}q\neq1$と同値の「$p\neq q$かつ$p\neq0$」の否定「$p=q$または$p=0$」のとき$\text{(a)}$が成り立つかどうかを調べます。

$\text{(a)}$に$p=q$を代入すると

$$\begin{align*}(左辺)&=p^n-p^n\\[0.5em]&=0\\[1em](右辺)&=(p-p)(p^{n-1}+p^{n-1}+\cdots+p^{n-1}+p^{n-1})\\[0.5em]&=0\end{align*}$$

$\text{(a)}$に$p=0$を代入すると

$$\begin{align*}(左辺)&=0^n-q^n\\[0.5em]&=-q^n\\[1em](右辺)&=(0-q)(0+0+\cdots+0+q^{n-1})\\[0.5em]&=-q\cdot q^{n-1}\\[0.5em]&=-q^n\end{align*}$$

$(左辺)=(右辺)$となるため「$p=q$または$p=0$」のとき$\text{(a)}$は成り立つ、すなわち$\text{(a)}$は任意の実数$p,q$で成り立つことがわかります。

この

$$\begin{align*}\large p^n-q^n&=(p-q)(p^{n-1}+p^{n-2}q+\cdots+pq^{n-2}+q^{n-1})\\ &\qquad\qquad(p,q:任意の実数,n:自然数)\end{align*}$$

は$p^n-q^n$の因数分解公式となります。

例えば、$n=2$のとき

$$\begin{align*}p^2-q^2&=(p-q)\bigl(p^{2-1}+q^{2-1}\bigr)\\[0.5em]&=(p-q)(p+q)\end{align*}$$

となって$p^2-q^2$の因数分解公式があらわれ、
$n=3$のとき

$$\begin{align*}p^3-q^3&=(p-q)\bigl(p^{3-1}+p^{3-2}q^{3-2}+q^{3-1}\bigr)\\[0.5em]&=(p-q)(p^2+pq+q^2)\end{align*}$$

となって$p^3-q^3$の因数分解公式があらわれます。

(2)$S=\sum_{j=1}^n{a_i}-\sum_{j=i}^{n-1}{b_i}$

　数列$a_i$の初項から第$n$項までの中からいくつかの項を抜粋してみると以下のようになります。

$$\begin{align*}a_1&=p^{2(n-1)}q^{2(1-1)}\\[0.5em]&=p^{2(n-1)}\\[1em]a_2&=p^{2(n-2)}q^{2(2-1)}\\[0.5em]&=p^{2(n-2)}q^2\\ &\qquad\vdots\\ a_{n-1}&=p^{2\bigl\{n-(n-1)\bigr\}}q^{2\bigl\{(n-1)-1\bigr\}}\\[0.5em]&=p^2q^{2(n-2)}\\[1em]a_n&=p^{2(n-n)}q^{2(n-1)}\\[0.5em]&=q^{2(n-1)}\end{align*}$$

$a_1=p^{2(n-1)}$、どの項も$p^{-2}q^2$倍したものが次の項になっていることより$a_i$は初項が$p^{2(n-1)}$、公比が$p^{-2}q^2$の等比数列であることがわかります。

　数列$b_i$の初項から第$n-1$項までの中からいくつかの項を抜粋してみると以下のようになります。

$$\begin{align*}b_1&=p^{2(n-1)-1}q^{2\cdot1-1}\\[0.5em]&=p^{2(n-1)-1}q\\[1em]b_2&=p^{2(n-2)-1}q^{2\cdot2-1}\\[0.5em]&=p^{2(n-2)-1}q^3\\ &\qquad\vdots\\ b_{n-2}&=p^{2\bigl\{n-(n-2)\bigr\}-1}q^{2(n-2)-1}\\[0.5em]&=p^3q^{2(n-2)-1}\\[0.5em]b_{n-1}&=p^{2\bigl\{n-(n-1)\bigr\}-1}q^{2(n-1)-1}\\[0.5em]&=pq^{2(n-1)-1}\end{align*}$$

$b_1=p^{2(n-1)-1}q$、どの項も$p^{-2}q^2$倍したものが次の項になっていることより$b_i$は初項が$p^{2(n-1)-1}$、公比が$p^{-2}q^2$の等比数列であることがわかります。

数列$a_i$の初項から第$n$項までの和を$S_a$、数列$b_i$の初項から第$n-1$項までの和を$S_b$とすると、与えられた条件より$p^{-1}q\neq1$ならば$p^{-2}q^2\neq1$なので等比数列の和の公式より

$$\begin{align*}S_a&=\frac{p^{2(n-1)}\bigl\{1-(p^{-2}q^2)^n\bigr\}}{1-p^{-2}q^2}\\[0.5em]&=\frac{p^{2(n-1)}\bigl(1-p^{-2n}q^{2n}\bigr)}{1-p^{-2}q^2}\\[0.5em]&=\frac{p^{2(n-1)}-p^{-2}q^{2n}}{1-p^{-2}q^2}\\[0.5em]&=\frac{p^{2(n-1)}-p^{-2}q^{2n}}{1-p^{-2}q^2}\cdot\frac{p^2}{p^2}\\[0.5em]&=\frac{p^{2n}-q^{2n}}{p^2-q^2}\\[1em]S_b&=\frac{p^{2(n-1)-1}q\bigl\{1-(p^{-2}q^2)^{n-1}\bigr\}}{1-p^{-2}q^2}\\[0.5em]&=\frac{p^{2(n-1)-1}q\bigl(1-p^{-2(n-1)}q^{2(n-1)}\bigr)}{1-p^{-2}q^2}\\[0.5em]&=\frac{p^{2(n-1)-1}q-p^{-1}q^{2n-1}}{1-p^{-2}q^2}\\[0.5em]&=\frac{p^{2(n-1)-1}q-p^{-1}q^{2n-1}}{1-p^{-2}q^2}\cdot\frac{p^2}{p^2}\\[0.5em]&=\frac{p^{2n-1}q-pq^{2n-1}}{p^2-q^2}\end{align*}$$

となります。

したがって、$S=S_a-S_b$より

$$\begin{align*}S&=\frac{p^{2n}-q^{2n}}{p^2-q^2}-\frac{p^{2n-1}q-pq^{2n-1}}{p^2-q^2}\\[0.5em]&=\frac{p^{2n}-q^{2n}-\bigl(p^{2n-1}q-pq^{2n-1}\bigr)}{p^2-q^2}\\[0.5em]&=\frac{p^{2n}-q^{2n}-p^{2n-1}q+pq^{2n-1}}{p^2-q^2}\\[0.5em]&=\frac{p\cdot p^{2n-1}-q\cdot q^{2n-1}-q\cdot p^{2n-1}+p\cdot q^{2n-1}}{p^2-q^2}\\[0.5em]&=\frac{(p-q)p^{2n-1}+(p-q)q^{2n-1}}{p^2-q^2}\\[0.5em]&=\frac{(p-q)\bigl(p^{2n-1}+q^{2n-1}\bigr)}{(p-q)(p+q)}\\[0.5em]&=\frac{p^{2n-1}+q^{2n-1}}{p+q}\end{align*}$$

となります。

　等比数列の和を使わない場合$S_a,S_b$はそれぞれ

$$\begin{align*}S_a&=p^{2(n-1)}+p^{2(n-2)}q^2+\cdots+p^2q^{2(n-2)}+q^{2(n-1)}\\[1em]S_b&=p^{2(n-1)-1}q+p^{2(n-2)-1}q^3+\cdots+p^3q^{2(n-2)-1}+pq^{2(n-1)-1}\end{align*}$$

となるため$S$は

$$\begin{align*}S&=\bigl(p^{2(n-1)}+p^{2(n-2)}q^2+\cdots+p^2q^{2(n-2)}+q^{2(n-1)}\bigr)\\ &\quad-\bigl(p^{2(n-1)-1}q+p^{2(n-2)-1}q^3+\cdots+p^3q^{2(n-2)-1}+pq^{2(n-1)-1}\bigr)\\[0.5em]&=p^{2(n-1)}-p^{2(n-1)-1}q+p^{2(n-2)}q^2-p^{2(n-2)-1}q^3+\cdots\\ &\quad-p^3q^{2(n-2)-1}+p^2q^{2(n-2)}-pq^{2(n-1)-1}+q^{2(n-1)}\end{align*}$$

となり、

$$\frac{p^{2n-1}+q^{2n-1}}{p+q}=\begin{aligned}&p^{2(n-1)}-p^{2(n-1)-1}q+p^{2(n-2)}q^2-p^{2(n-2)-1}q^3+\cdots\\ &\quad-p^3q^{2(n-2)-1}+p^2q^{2(n-2)}-pq^{2(n-1)-1}+q^{2(n-1)}\end{aligned}$$

が成り立ちます。

これの両辺に$p+q$を掛けると

$$p^{2n-1}+q^{2n-1}=(p+q)\bigl(p^{2(n-1)}-p^{2(n-1)-1}q+\cdots-pq^{2(n-1)-1}+q^{2(n-1)}\bigr)\tag{b}$$

となります。

$\text{(a)}$と同様$\text{(b)}$にはまだ$p^{-1}q\neq1$という条件がついているので、これと同値な「$p\neq q$かつ$p\neq0$」の否定においても成り立つことを確かめます。

$\text{(b)}$に$p=q$を代入すると

$$\begin{align*}(左辺)&=p^{2n-1}+p^{2n-1}\\[0.5em]&=2p^{2n-1}\\[1em](右辺)&=(p+p)\bigl(p^{2(n-1)}-p^{2(n-1)}+\cdots-p^{2(n-1)}+p^{2(n-1)}\bigr)\\[0.5em]&=2p\Bigl\{\overbrace{\bigl(p^{2(n-1)}-p^{2(n-1)}\bigr)+\cdots+\bigl(p^{2(n-1)}-p^{2(n-1)}\bigr)}^{n-1個}+p^{2(n-1)}\Bigr\}\\[0.5em]&=2p\cdot p^{2(n-1)}\\[0.5em]&=2p^{2n-1}\end{align*}$$

$\text{(b)}$に$p=0$を代入すると

$$\begin{align*}(左辺)&=0^{2n-1}+q^{2n-1}\\[0.5em]&=q^{2n-1}\\[1em](右辺)&=(0+q)\bigl(0-0+\cdots-0+q^{2(n-1)}\bigr)\\[0.5em]&=q\cdot q^{2(n-1)}\\[0.5em]&=q^{2n-1}\end{align*}$$

となるため、$\text{(b)}$は任意の実数$p,q$で成り立つことがわかります。

この

$$\begin{align*}p^{2n-1}+q^{2n-1}&=(p+q)\bigl(p^{2(n-1)}-p^{2(n-1)-1}q+\cdots-pq^{2(n-1)-1}+q^{2(n-1)}\bigr)\\ &\qquad(p,q:任意の実数,n:自然数)\end{align*}$$

は$p^{2n-1}+q^{2n-1}$の因数分解公式となります。
$p,q$の指数である$2n-1$は奇数である点に注意です。

例えば、$n=2$のとき

$$\begin{align*}p^{2\cdot2-1}+q^{2\cdot2-1}&=(p+q)\bigl(p^{2(2-1)}-p^{2(2-1)-1}q^{2(n-1)-1}+q^{2(2-1)}\bigr)\\[0.5em]p^3+q^3&=(p+q)(p^2-pq+q^2)\end{align*}$$

となって$p^3+q^3$の因数分解公式があらわれ、
$n=3$のとき

$$\begin{align*}p^{2\cdot3-1}+q^{2\cdot3-1}&=(p+q)\left(\begin{aligned}&p^{2(3-1)}-p^{2(3-2)}q^{2(3-2)-1}+p^{2(3-2)-1}q^{2(3-2)}\\ &\quad-p^{2(3-2)-1}q^{2(3-1)-1}+q^{2(3-1)}\end{aligned}\right)\\[0.5em]p^5+q^5&=(p+q)(p^4-p^3q+p^2q^2-pq^3+q^4)\end{align*}$$

となり、これは$p^5+q^5$の因数分解公式となります。

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