「少なくとも1つは〇〇である」の否定は？ ~ 数学について考えてみる

2024年1月2日

PLUMBAGO

「

$1,2,3,4,5,6$ の番号が1つずつ書かれたカード6枚の中から2枚を引く場合を考える。

(1)『少なくとも1枚はカードの番号が偶数である』の否定はなにか？

(2) (1)の答えを満たすカードの引き方は何通りか？」

(1)『少なくとも1枚は偶数』の否定

　引いたカードの番号の偶数、奇数の組み合わせにはどのようなものがあるのかを考えると

の3通りがあります。

このうち『少なくとも1枚はカードの番号が偶数である』を満たすのは

$1.,2.$ の2つの場合です。

したがって、『少なくとも1枚はカードの番号が偶数である』の否定は $1.,2.$ の場合ではないことを意味するので、 $3.$ の場合を表す『2枚ともカードの番号が奇数である』が答えとなります。

　『少なくとも1つは〇〇である』というのは、言い換えれば『必ず〇〇がある（含まれる）』ということです。『必ず〇〇がある』の否定は『全く〇〇がない』なので、『少なくとも1つは〇〇である』の否定は『全く〇〇がない』あるいはこれの言い換えとなります。

$(1)$ に当てはめて考えれば、『少なくとも1枚はカードの番号が偶数である』の言い換えが『必ず引いたカードの番号に偶数がある』、これを否定すると『全く引いたカードの番号に偶数がない』、そしてこれの言い換えが『2枚ともカードの番号が奇数である』となります。

$(1)$ の答えを満たすカードの引き方とは、2枚ともカードの番号が奇数となるようなカードの引き方のことです。

6枚のカードの中に奇数が書かれているカードは $1,3,5$ が書かれているカードの3枚なので、 $(1)$ の答えを満たすカードの引き方はこの3枚のカードの中から2枚引いたときのカードの番号の組み合わせの数となります。

このときの引いたカードの番号の組み合わせは

$(1,3),(1,5),(3,5)$ の3通りです。

したがって、3通りが答えとなります。

あるいは

$\{_3C_2\}=3$ より3通りと求められます。

$(1)$ を『少なくとも1枚はカードの番号が奇数である』のように間違った答えにしてしまうと、

$(2)$ も正答できなります。