完全数と友愛数と婚約数

完全数

　完全数とは、自身を除く正の約数の和が自身と等しくなるような自然数のことです。
これはすべての正の約数の和が自身の2倍と等しくなるような自然数のことであるともいえます。

最小の完全数は$6$です。$6$の正の約数は$1,2,3,6$の4個で$6$を除く正の約数の和は
$$1+2+3=6$$
となり、約数を求めた自然数$6$に等しくなります。
また、すべての正の約数の和を求めると

$$\begin{align*}1+2+3+6&=12\\[0.5em]&=6\times2\end{align*}$$

となり、約数を求めた自然数$6$の2倍に等しくなります。これが完全数の性質です。

自然数$6$のすべての正の約数の和は、素因数分解すると$6=2×3$となることより

$$(1+2)(1+3)=12$$
のように求めることもできます。

関連：素因数分解を利用して正の約数の個数・和を求める

　2番目に小さい完全数は$28$です。素因数分解すると$28=2^2×7$であり

$$\begin{align*}(1+2+2^2)(1+7)&=56\\[0.5em]&=28\times2\end{align*}$$

となるので$28$が完全数であることがわかります。

友愛数

　友愛数とは、自身を除く正の約数の和が互いにもう一方の自然数に等しい2つの自然数の組のことです。
これはすべての正の約数の和が等しい2つの自然数の組で、かつそのすべての正の約数の和が2つの自然数の和に等しいもののことであるともいえます。

最小の友愛数の組は$(220,284)$です。

$220$は素因数分解すると$220=2^2×5×11$であり

$$\begin{align*}(1+2+2^2)(1+5)(1+11)&=504\\[0.5em]&=220+284\end{align*}$$

$284$は素因数分解すると$284=2^2\times71$であり

$$\begin{align*}(1+2+2^2)(1+71)&=504\\[0.5em]&=220+284\end{align*}$$

となるので、それぞれ自身を差し引けばもう一方の自然数になることがわかります。

　2番目に小さい友愛数の組は$(1184,1210)$です。

$1184$は素因数分解すると$1184=2^5×37$であり

$$\begin{align*}(1+2+2^2+2^3+2^4+2^5)(1+37)&=2394\\[0.5em]&=1184+1210\end{align*}$$

$1210$は素因数分解すると$1210=2×5×11^2$であり

$$\begin{align*}(1+2)(1+5)(1+11+11^2)&=2394\\[0.5em]&=1184+1210\end{align*}$$

となるので$(1184,1210)$も友愛数であることがわかります。

婚約数

　友愛数に似た自然数の組に婚約数というものがあります。

婚約数とは、自明な正の約数（$1$と自身）を除く正の約数の和が互いにもう一方の自然数に等しい2つの自然数の組のことです。

これはすべての正の約数の和が等しい2つの自然数の組で、かつそのすべての正の約数の和が2つの自然数の和に等しいもののことであるともいえます。

これはすべての正の約数の和が等しい2つの自然数の組で、かつそのすべての正の約数の和が2つの自然数の和に$1$を加えたものに等しいもののことであるともいえます。

最小の婚約数の組は$(48,75)$です。

$48$は素因数分解すると$48=2^4×3$であり

$$\begin{align*}(1+2+2^2+2^3+2^4)(1+3)&=124\\[0.5em]&=48+75+1\end{align*}$$

$75$は素因数分解すると$75=3×5^2$であり

$$\begin{align*}(1+3)(1+5+5^2)&=124\\[0.5em]&=48+75+1\end{align*}$$

となり、それぞれ自明な正の約数を差し引けばもう一方の自然数になることがわかります。

　2番目に小さい婚約数の組は$(140,195)$です。

$140$は素因数分解すると$140=2^2×5×7$であり

$$\begin{align*}(1+2+2^2)(1+5)(1+7)&=336\\[0.5em]&=140+195+1\end{align*}$$

$195$は素因数分解すると$195=3×5×13$であり

$$\begin{align*}(1+3)(1+5)(1+13)&=336\\[0.5em]&=140+195+1\end{align*}$$

となるので$(140,195)$も婚約数であることがわかります。

完全数、友愛数、婚約数はともに無数に存在するか？が未解決問題となっています。