中間角の三角関数

　2つの角度$α,β$の中間の角度$\dfrac{α+β}{2}$の三角関数は$α,β$それぞれの三角関数を使ってどのように表すことができるでしょうか？

　三角関数の加法定理と半角の公式を利用します。

半角の公式は

$$\begin{align*}\sin^2\frac{\theta}{2}&=\frac{1-\cos\theta}{2}\\[1em]\cos^2\frac{\theta}{2}&=\frac{1+\cos\theta}{2}\\[1em]\tan\frac{\theta}{2}&=\frac{\sin\theta}{1+\cos\theta}\end{align*}$$

です。

関連：三角関数 半角の公式

$θ=α+β$を代入し、三角関数の加法定理

$$\begin{align*}\sin(\alpha+\beta)&=\sin\alpha\cos\beta+\cos\alpha\sin\beta\\[1em]\cos(\alpha+\beta)&=\cos\alpha\cos\beta-\sin\alpha\sin\beta\end{align*}$$

より

$$\begin{align*}\sin^2\frac{\alpha+\beta}{2}&=\frac{1-\cos(\alpha+\beta)}{2}\\[0.5em]&=\frac{1-(\cos\alpha\cos\beta-\sin\alpha\sin\beta)}{2}\\[0.5em]&=\frac{1+\sin\alpha\sin\beta-\cos\alpha\cos\beta}{2}\\[1em]\cos^2\frac{\alpha+\beta}{2}&=\frac{1+\cos(\alpha+\beta)}{2}\\[0.5em]&=\frac{1+\cos\alpha\cos\beta-\sin\alpha\sin\beta}{2}\\[1em]\tan\frac{\alpha+\beta}{2}&=\frac{\sin(\alpha+\beta)}{1+\cos(\alpha+\beta)}\\[0.5em]&=\frac{\sin\alpha\cos\beta+\cos\alpha\sin\beta}{1+\cos\alpha\cos\beta-\sin\alpha\sin\beta}\end{align*}$$

となります。

関連：三角関数の加法定理

　また、中間角の$\tan$にはより簡単な表現があります。

和積の公式

$$\begin{align}\sin\alpha+\sin\beta&=2\sin\frac{\alpha+\beta}{2}\cos\frac{\alpha-\beta}{2}\\[1em]\sin\alpha-\sin\beta&=2\cos\frac{\alpha+\beta}{2}\sin\frac{\alpha-\beta}{2}\\[1em]\cos\alpha+\cos\beta&=2\cos\frac{\alpha+\beta}{2}\cos\frac{\alpha-\beta}{2}\\[1em]\cos\alpha-\cos\beta&=-2\sin\frac{\alpha+\beta}{2}\sin\frac{\alpha-\beta}{2}\end{align}$$

を利用します。

関連：積和の公式・和積の公式

$(1)÷(3)$より

$$\begin{align*}\frac{\sin\alpha+\sin\beta}{\cos\alpha+\cos\beta}&=\frac{2\sin\cfrac{\alpha+\beta}{2}\cos\cfrac{\alpha-\beta}{2}}{2\cos\cfrac{\alpha+\beta}{2}\cos\cfrac{\alpha-\beta}{2}}\\[0.5em]&=\frac{\sin\cfrac{\alpha+\beta}{2}}{\cos\cfrac{\alpha+\beta}{2}}\\[0.5em]\therefore \tan\frac{\alpha+\beta}{2}&=\frac{\sin\alpha+\sin\beta}{\cos\alpha+\cos\beta}\end{align*}$$

$(4)÷(2)$より

$$\begin{align*}\frac{\cos\alpha-\cos\beta}{\sin\alpha-\sin\beta}&=\frac{-2\sin\cfrac{\alpha+\beta}{2}\sin\cfrac{\alpha-\beta}{2}}{2\cos\cfrac{\alpha+\beta}{2}\sin\cfrac{\alpha-\beta}{2}}\\[0.5em]&=-\frac{\sin\cfrac{\alpha+\beta}{2}}{\cos\cfrac{\alpha+\beta}{2}}\\[0.5em]&=-\tan\frac{\alpha+\beta}{2}\\[0.5em]\therefore\tan\frac{\alpha+\beta}{2}&=-\frac{\cos\alpha-\cos\beta}{\sin\alpha-\sin\beta}\end{align*}$$

以上より中間角の$\tan$は

$$\tan\frac{\alpha+\beta}{2}=\frac{\sin\alpha+\sin\beta}{\cos\alpha+\cos\beta}=-\frac{\cos\alpha-\cos\beta}{\sin\alpha-\sin\beta}$$

と表せることがわかります。