2つの角度$α,β$の中間の角度$\dfrac{α+β}{2}$の三角関数は$α,β$それぞれの三角関数を使ってどのように表すことができるでしょうか？
三角関数の加法定理と半角の公式を利用します。
半角の公式は
\begin{align*}\sin^2\frac{\theta}{2}&=\frac{1-\cos\theta}{2}\\[1em]\cos^2\frac{\theta}{2}&=\frac{1+\cos\theta}{2}\\[1em]\tan\frac{\theta}{2}&=\frac{\sin\theta}{1+\cos\theta}\end{align*}
です。
$θ=α+β$を代入し、三角関数の加法定理
\begin{align*}\sin(\alpha+\beta)&=\sin\alpha\cos\beta+\cos\alpha\sin\beta\\[1em]\cos(\alpha+\beta)&=\cos\alpha\cos\beta-\sin\alpha\sin\beta\end{align*}
より
\begin{align*}\sin^2\frac{\alpha+\beta}{2}&=\frac{1-\cos(\alpha+\beta)}{2}\\[0.5em]&=\frac{1-(\cos\alpha\cos\beta-\sin\alpha\sin\beta)}{2}\\[0.5em]&=\frac{1+\sin\alpha\sin\beta-\cos\alpha\cos\beta}{2}\\[1em]\cos^2\frac{\alpha+\beta}{2}&=\frac{1+\cos(\alpha+\beta)}{2}\\[0.5em]&=\frac{1+\cos\alpha\cos\beta-\sin\alpha\sin\beta}{2}\\[1em]\tan\frac{\alpha+\beta}{2}&=\frac{\sin(\alpha+\beta)}{1+\cos(\alpha+\beta)}\\[0.5em]&=\frac{\sin\alpha\cos\beta+\cos\alpha\sin\beta}{1+\cos\alpha\cos\beta-\sin\alpha\sin\beta}\end{align*}
となります。
また、中間角の$\tan$にはより簡単な表現があります。
和積の公式
\begin{align}\sin\alpha+\sin\beta&=2\sin\frac{\alpha+\beta}{2}\cos\frac{\alpha-\beta}{2}\\[1em]\sin\alpha-\sin\beta&=2\cos\frac{\alpha+\beta}{2}\sin\frac{\alpha-\beta}{2}\\[1em]\cos\alpha+\cos\beta&=2\cos\frac{\alpha+\beta}{2}\cos\frac{\alpha-\beta}{2}\\[1em]\cos\alpha-\cos\beta&=-2\sin\frac{\alpha+\beta}{2}\sin\frac{\alpha-\beta}{2}\end{align}
を利用します。
$(1)÷(3)$より
\begin{align*}\frac{\sin\alpha+\sin\beta}{\cos\alpha+\cos\beta}&=\frac{2\sin\cfrac{\alpha+\beta}{2}\cos\cfrac{\alpha-\beta}{2}}{2\cos\cfrac{\alpha+\beta}{2}\cos\cfrac{\alpha-\beta}{2}}\\[0.5em]&=\frac{\sin\cfrac{\alpha+\beta}{2}}{\cos\cfrac{\alpha+\beta}{2}}\\[0.5em]\therefore
\tan\frac{\alpha+\beta}{2}&=\frac{\sin\alpha+\sin\beta}{\cos\alpha+\cos\beta}\end{align*}
$(4)÷(2)$より
\begin{align*}\frac{\cos\alpha-\cos\beta}{\sin\alpha-\sin\beta}&=\frac{-2\sin\cfrac{\alpha+\beta}{2}\sin\cfrac{\alpha-\beta}{2}}{2\cos\cfrac{\alpha+\beta}{2}\sin\cfrac{\alpha-\beta}{2}}\\[0.5em]&=-\frac{\sin\cfrac{\alpha+\beta}{2}}{\cos\cfrac{\alpha+\beta}{2}}\\[0.5em]&=-\tan\frac{\alpha+\beta}{2}\\[0.5em]\therefore\tan\frac{\alpha+\beta}{2}&=-\frac{\cos\alpha-\cos\beta}{\sin\alpha-\sin\beta}\end{align*}
以上より中間角の$\tan$は
\[\tan\frac{\alpha+\beta}{2}=\frac{\sin\alpha+\sin\beta}{\cos\alpha+\cos\beta}=-\frac{\cos\alpha-\cos\beta}{\sin\alpha-\sin\beta}\]
と表せることがわかります。
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