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2023年12月11日

15°、22.5°、67.5°、75°の三角比

 15°,75°15°,75°の三角比と22.5°,67.5°22.5°,67.5°の三角比は同じ方法を利用して求めることができます。

15°,75°15°,75°の三角比

鋭角の1つが30°の直角三角形
 BAC=30°,ABC=90°, AC=1である直角三角形ABCを考えます。
この直角三角形ABCは3辺の比よりAB=32,BC=12であることがわかります。
鋭角の1つが15°の直角三角形をつくる
ここで、辺ABAの側を延長し、延長上にADC=15°となるように点Dをとります。
CAD=150°なので
ACD=180°(CAD+ADC)=180°(150°+15°)=15°=ADC
となり、ACDAC=AD=1である二等辺三角形であることがわかります。
 直角三角形DBCにおいてBC=12,BD=AD+AB=1+32なので、辺CDの長さは三平方の定理より
CD2=BC2+BD2=(12)2+(1+32)2=14+1+3+34=2+3=4+232CD=4+232(CD>0)=(3+1)22=3+12=2(3+1)2=6+22
と求まります。
鋭角の1つが15°の直角三角形
 したがって、直角三角形による三角関数の定義に従って15°の三角比を求めると
sin15°=BCCD=126+22=16+2=16+26262=624cos15°=BDCD=1+326+22=2+36+2=2+36+26262=6+24tan15°=BCBD=121+32=12+3=12+32323=23
となります。
また、75°の三角比は
sin75°=BDCD=6+24cos15°=BCCD=624tan15°=BDBC=1+3212=2+31=2+3
となります。

22.5°の三角比

鋭角の1つが45°の直角三角形
 BAC=45°,ABC=90°, AC=1である直角三角形ABCを考えます。
この直角三角形ABCACB=45°、3辺の比よりAB=22,BC=22であることがわかります。
鋭角の1つが22.5°の直角三角形をつくる
15°の三角比を求めたときと同様、辺ABAの側を延長し、延長上にADC=22.5°となるように点Dをとります。
CAD=135°なので
ACD=180°(CAD+ADC)=180°(135°+22.5°)=22.5°=ADC
となり、ACDAC=AD=1である二等辺三角形であることがわかります。
 直角三角形DBCにおいてBC=22,BD=AD+AB=1+22なので、辺CDの長さは三平方の定理より
CD2=BC2+BD2=(22)2+(1+22)2=12+1+2+12=2+2CD=2+2(CD>0)
と求まります。
鋭角の1つが22.5°の直角三角形
 したがって、直角三角形による三角関数の定義に従って22.5°の三角比を求めると
sin22.5°=BCCD=222+2=222+2=222+22+22+2=22+22(2+2)=22+22(2+2)2222=22+2(22)24=2224=222cos22.5°=BDCD=1+222+2=2+222+2=(2+2)222+2=2+22tan22.5°=BCBD=221+22=22+2=22+22222=2222=21
となります。
また、67.5°の三角比は
sin67.5°=BDCD=2+22cos67.5°=BCCD=222tan67.5°=BDBC=1+2222=2+22=2+2222=22+22=2+2
となります。

 それぞれの近似値は以下のようになります。
角度 sin cos tan
15° 0.25882 0.96593 0.26795
22.5° 0.38268 0.92388 0.41421
67.5° 0.92388 0.38268 2.4142
75° 0.96593 0.25882 3.7321

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