15°、22.5°、67.5°、75°の三角比 ~ 数学について考えてみる

$15°, 75°$ の三角比と

$22.5°, 67.5°$ の三角比は同じ方法を利用して求めることができます。

$15°, 75°$ の三角比

$∠\text{BAC}=30°, ∠\text{ABC}=90°,$

$\text{AC}=1$ である直角三角形

$\text{ABC}$ を考えます。
この直角三角形

$\text{ABC}$ は3辺の比より

$\text{AB}=\dfrac{\sqrt{3}}{2}, \text{BC}=\dfrac{1}{2}$ であることがわかります。

ここで、辺

$\text{AB}$ の

$\text{A}$ の側を延長し、延長上に

$∠\text{ADC}=15°$ となるように点

$\text{D}$ をとります。

$∠\text{CAD}=150°$ なので

$\begin{align*}∠\text{ACD}&=180°-(∠\text{CAD}+∠\text{ADC})\\[0.5em]&=180°-(150°+15°)\\[0.5em]&=15°=∠\text{ADC}\end{align*}$

となり、

$△\text{ACD}$ は

$\text{AC}=\text{AD}=1$ である二等辺三角形であることがわかります。

　直角三角形

$\text{DBC}$ において

$\text{BC}=\dfrac{1}{2}, \text{BD}=\text{AD}+\text{AB}=1+\dfrac{\sqrt{3}}{2}$ なので、辺

$\text{CD}$ の長さは三平方の定理より

$\begin{align*}\text{CD}^2&=\text{BC}^2+\text{BD}^2\\[0.5em]&=\left(\frac{1}{2}\right)^2+\left(1+\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^2\\[0.5em]&=\frac{1}{4}+1+\sqrt{3}+\frac{3}{4}\\[0.5em]&=2+\sqrt{3}\\[0.5em]&=\frac{4+2\sqrt{3}}{2}\\[1em]\text{CD}&=\sqrt{\frac{4+2\sqrt{3}}{2}}&(\because \text{CD}>0)\\[0.5em]&=\sqrt{\frac{(\sqrt{3}+1)^2}{2}}\\[0.5em]&=\frac{\sqrt{3}+1}{\sqrt{2}}\\[0.5em]&=\frac{\sqrt{2}(\sqrt{3}+1)}{2}\\[0.5em]&=\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{2}\end{align*}$

と求まります。

　したがって、直角三角形による三角関数の定義に従って

$15°$ の三角比を求めると

$\begin{align*}\sin15°&=\frac{\text{BC}}{\text{CD}}\\[0.5em]&=\frac{\cfrac{1}{2}}{\cfrac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{2}}\\[0.5em]&=\frac{1}{\sqrt{6}+\sqrt{2}}\\[0.5em]&=\frac{1}{\sqrt{6}+\sqrt{2}}\cdot\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{\sqrt{6}-\sqrt{2}}\\[0.5em]&=\mathbf{\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}}\\[1em]\cos15°&=\frac{\text{BD}}{\text{CD}}\\[0.5em]&=\frac{1+\cfrac{\sqrt{3}}{2}}{\cfrac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{2}}\\[0.5em]&=\frac{2+\sqrt{3}}{\sqrt{6}+\sqrt{2}}\\[0.5em]&=\frac{2+\sqrt{3}}{\sqrt{6}+\sqrt{2}}\cdot\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{\sqrt{6}-\sqrt{2}}\\[0.5em]&=\mathbf{\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}}\\[1em]\tan15°&=\frac{\text{BC}}{\text{BD}}\\[0.5em]&=\frac{\cfrac{1}{2}}{1+\cfrac{\sqrt{3}}{2}}\\[0.5em]&=\frac{1}{2+\sqrt{3}}\\[0.5em]&=\frac{1}{2+\sqrt{3}}\cdot\frac{2-\sqrt{3}}{2-\sqrt{3}}\\[0.5em]&=\mathbf{2-\sqrt{3}}\end{align*}$

となります。

また、

$75°$ の三角比は

$\begin{align*}\sin75°&=\frac{\text{BD}}{\text{CD}}\\[0.5em]&=\mathbf{\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}}\\[1em]\cos15°&=\frac{\text{BC}}{\text{CD}}\\[0.5em]&=\mathbf{\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}}\\[1em]\tan15°&=\frac{\text{BD}}{\text{BC}}\\[0.5em]&=\frac{1+\cfrac{\sqrt{3}}{2}}{\cfrac{1}{2}}\\[0.5em]&=\frac{2+\sqrt{3}}{1}\\[0.5em]&=\mathbf{2+\sqrt{3}}\end{align*}$

となります。

$22.5°$ の三角比

$∠\text{BAC}=45°, ∠\text{ABC}=90°,$

$\text{AC}=1$ である直角三角形

$\text{ABC}$ を考えます。
この直角三角形

$\text{ABC}$ は

$∠\text{ACB}=45°$ 、3辺の比より

$\text{AB}=\dfrac{\sqrt{2}}{2}, \text{BC}=\dfrac{\sqrt{2}}{2}$ であることがわかります。

$15°$ の三角比を求めたときと同様、辺

$\text{AB}$ の

$\text{A}$ の側を延長し、延長上に

$∠\text{ADC}=22.5°$ となるように点

$\text{D}$ をとります。

$∠\text{CAD}=135°$ なので

$\begin{align*}∠\text{ACD}&=180°-(∠\text{CAD}+∠\text{ADC})\\[0.5em]&=180°-(135°+22.5°)\\[0.5em]&=22.5°=∠\text{ADC}\end{align*}$

となり、

$△\text{ACD}$ は

$\text{AC}=\text{AD}=1$ である二等辺三角形であることがわかります。

　直角三角形

$\text{DBC}$ において

$\text{BC}=\dfrac{\sqrt{2}}{2}, \text{BD}=\text{AD}+\text{AB}=1+\dfrac{\sqrt{2}}{2}$ なので、辺

$\text{CD}$ の長さは三平方の定理より

$\begin{align*}\text{CD}^2&=\text{BC}^2+\text{BD}^2\\[0.5em]&=\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)^2+\left(1+\frac{\sqrt{2}}{2}\right)^2\\[0.5em]&=\frac{1}{2}+1+\sqrt{2}+\frac{1}{2}\\[0.5em]&=2+\sqrt{2}\\[1em]\text{CD}&=\sqrt{2+\sqrt{2}}&(\because \text{CD}>0)\end{align*}$

と求まります。

　したがって、直角三角形による三角関数の定義に従って

$22.5°$ の三角比を求めると

$\begin{align*}\sin22.5°&=\frac{\text{BC}}{\text{CD}}\\[0.5em]&=\frac{\cfrac{\sqrt{2}}{2}}{\sqrt{2+\sqrt{2}}}\\[0.5em]&=\frac{\sqrt{2}}{2\sqrt{2+\sqrt{2}}}\\[0.5em]&=\frac{\sqrt{2}}{2\sqrt{2+\sqrt{2}}}\cdot\frac{\sqrt{2+\sqrt{2}}}{\sqrt{2+\sqrt{2}}}\\[0.5em]&=\frac{\sqrt{2}\sqrt{2+\sqrt{2}}}{2(2+\sqrt{2})}\\[0.5em]&=\frac{\sqrt{2}\sqrt{2+\sqrt{2}}}{2(2+\sqrt{2})}\cdot\frac{2-\sqrt{2}}{2-\sqrt{2}}\\[0.5em]&=\frac{\sqrt{2}\sqrt{2+\sqrt{2}}\sqrt{\bigl(2-\sqrt{2}\bigr)^2}}{4}\\[0.5em]&=\frac{2\sqrt{2-\sqrt{2}}}{4}\\[0.5em]&=\mathbf{\frac{\sqrt{2-\sqrt{2}}}{2}}\\[1em]\cos22.5°&=\frac{\text{BD}}{\text{CD}}\\[0.5em]&=\frac{1+\cfrac{\sqrt{2}}{2}}{\sqrt{2+\sqrt{2}}}\\[0.5em]&=\frac{2+\sqrt{2}}{2\sqrt{2+\sqrt{2}}}\\[0.5em]&=\frac{\bigl(\sqrt{2+\sqrt{2}}\bigr)^2}{2\sqrt{2+\sqrt{2}}}\\[0.5em]&=\mathbf{\frac{\sqrt{2+\sqrt{2}}}{2}}\\[1em]\tan22.5°&=\frac{\text{BC}}{\text{BD}}\\[0.5em]&=\frac{\cfrac{\sqrt{2}}{2}}{1+\cfrac{\sqrt{2}}{2}}\\[0.5em]&=\frac{\sqrt{2}}{2+\sqrt{2}}\\[0.5em]&=\frac{\sqrt{2}}{2+\sqrt{2}}\cdot\frac{2-\sqrt{2}}{2-\sqrt{2}}\\[0.5em]&=\frac{2\sqrt{2}-2}{2}\\[0.5em]&=\mathbf{\sqrt{2}-1}\end{align*}$

となります。

また、

$67.5°$ の三角比は

$\begin{align*}\sin67.5°&=\frac{\text{BD}}{\text{CD}}\\[0.5em]&=\mathbf{\frac{\sqrt{2+\sqrt{2}}}{2}}\\[1em]\cos67.5°&=\frac{\text{BC}}{\text{CD}}\\[0.5em]&=\mathbf{\frac{\sqrt{2-\sqrt{2}}}{2}}\\[1em]\tan67.5°&=\frac{\text{BD}}{\text{BC}}\\[0.5em]&=\frac{1+\cfrac{\sqrt{2}}{2}}{\cfrac{\sqrt{2}}{2}}\\[0.5em]&=\frac{2+\sqrt{2}}{\sqrt{2}}\\[0.5em]&=\frac{2+\sqrt{2}}{\sqrt{2}}\cdot\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}\\[0.5em]&=\frac{2\sqrt{2}+2}{2}\\[0.5em]&=\mathbf{2+\sqrt{2}}\end{align*}$

となります。

　それぞれの近似値は以下のようになります。