15°,75°15°,75°の三角比と22.5°,67.5°22.5°,67.5°の三角比は同じ方法を利用して求めることができます。
15°,75°15°,75°の三角比
ここで、辺ABのAの側を延長し、延長上に∠ADC=15°となるように点Dをとります。
∠CAD=150°なので
∠CAD=150°なので
∠ACD=180°−(∠CAD+∠ADC)=180°−(150°+15°)=15°=∠ADC
となり、△ACDはAC=AD=1である二等辺三角形であることがわかります。
直角三角形DBCにおいてBC=12,BD=AD+AB=1+√32なので、辺CDの長さは三平方の定理より
CD2=BC2+BD2=(12)2+(1+√32)2=14+1+√3+34=2+√3=4+2√32CD=√4+2√32(∵CD>0)=√(√3+1)22=√3+1√2=√2(√3+1)2=√6+√22
と求まります。
したがって、直角三角形による三角関数の定義に従って15°の三角比を求めると
sin15°=BCCD=12√6+√22=1√6+√2=1√6+√2⋅√6−√2√6−√2=√6−√24cos15°=BDCD=1+√32√6+√22=2+√3√6+√2=2+√3√6+√2⋅√6−√2√6−√2=√6+√24tan15°=BCBD=121+√32=12+√3=12+√3⋅2−√32−√3=2−√3
となります。
また、75°の三角比は
sin75°=BDCD=√6+√24cos15°=BCCD=√6−√24tan15°=BDBC=1+√3212=2+√31=2+√3
となります。
22.5°の三角比
∠CAD=135°なので
∠ACD=180°−(∠CAD+∠ADC)=180°−(135°+22.5°)=22.5°=∠ADC
となり、△ACDはAC=AD=1である二等辺三角形であることがわかります。
直角三角形DBCにおいてBC=√22,BD=AD+AB=1+√22なので、辺CDの長さは三平方の定理より
CD2=BC2+BD2=(√22)2+(1+√22)2=12+1+√2+12=2+√2CD=√2+√2(∵CD>0)
と求まります。
したがって、直角三角形による三角関数の定義に従って22.5°の三角比を求めると
sin22.5°=BCCD=√22√2+√2=√22√2+√2=√22√2+√2⋅√2+√2√2+√2=√2√2+√22(2+√2)=√2√2+√22(2+√2)⋅2−√22−√2=√2√2+√2√(2−√2)24=2√2−√24=√2−√22cos22.5°=BDCD=1+√22√2+√2=2+√22√2+√2=(√2+√2)22√2+√2=√2+√22tan22.5°=BCBD=√221+√22=√22+√2=√22+√2⋅2−√22−√2=2√2−22=√2−1
となります。
また、67.5°の三角比は
sin67.5°=BDCD=√2+√22cos67.5°=BCCD=√2−√22tan67.5°=BDBC=1+√22√22=2+√2√2=2+√2√2⋅√2√2=2√2+22=2+√2
となります。
それぞれの近似値は以下のようになります。
角度 | sin | cos | tan |
---|---|---|---|
15° | 0.25882 | 0.96593 | 0.26795 |
22.5° | 0.38268 | 0.92388 | 0.41421 |
67.5° | 0.92388 | 0.38268 | 2.4142 |
75° | 0.96593 | 0.25882 | 3.7321 |
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