「a<bである自然数a,bの最大公約数を\text{gcd}(a,b)と表すとき、次の中で間違っているものはどれか?すべて選べ。
\text{(i)}\ \text{gcd}(a,b)の最大値はaである。
\text{(ii)}\ \text{gcd}(a,b)のとりうる値にはa<\text{gcd}(a,b)\leqq bを満たすものが存在する。
\text{(iii)}\ \text{gcd}(a,b)=1であることとa,bは互いに素であることは同値である。
\text{(iv)}\ \text{gcd}(a,b)=aならばbはaの倍数である。
\text{(v)}\ \text{gcd}(a,b)はbをaで割ったときの余りである。」
\text{(i)}、\text{(ii)}について
約数とは、ある数を割り切ることができる数のことです。そして、2つ以上の数を挙げ、それぞれの約数で共通するもののことを公約数、公約数のうち最大のものを最大公約数といいます。
ある数の約数のうち必ずある数自身が最大の約数となるので、aとbの公約数になりうる数の中で最大のものはaの最大の約数aであり、aより大きくbの最大の約数b以下の公約数は存在しません。
すなわち、\text{(i)}は正しく、\text{(ii)}は誤りであることがわかります。
\text{(iii)}について
互いに素とは共通する正の約数が1しかないことなので、最大公約数が1であることと同値です。
したがって、\text{(iii)}は正しいことがわかります。
\text{(iv)}について
\text{gcd}(a,b)=aより、aはbを割り切ることができる数であることがわかります。なので、そのときの商をkとおくと\dfrac{b}{a}=k、両辺にaを掛けて
b=ak
となります。この式よりbはaの倍数であることがわかります。
したがって、\text{(iv)}は正しいです。
\text{(v)}について
例を挙げると、\text{gcd}(9,12)=3の場合12÷9=1余り3となり一致しますが、\text{gcd}(9,15)=3の場合は15÷9=1余り6となり一致しません。
必ずしも最大公約数と余りが一致することはないので\text{(v)}は誤りであることがわかります。
ですが、最大公約数を求める方法であるユークリッドの互除法で0でない余りとして最後に現れる数は最大公約数と等しくなります。
以上より答えは\text{(ii),(v)}となります。
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