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2024年1月30日

最大公約数について 間違っているのはどれ?

a<bである自然数a,bの最大公約数を\text{gcd}(a,b)と表すとき、次の中で間違っているものはどれか?すべて選べ。

\text{(i)}\ \text{gcd}(a,b)の最大値はaである。

\text{(ii)}\ \text{gcd}(a,b)のとりうる値にはa<\text{gcd}(a,b)\leqq bを満たすものが存在する。

\text{(iii)}\ \text{gcd}(a,b)=1であることとa,bは互いに素であることは同値である。

\text{(iv)}\ \text{gcd}(a,b)=aならばbaの倍数である。

\text{(v)}\ \text{gcd}(a,b)baで割ったときの余りである。」

\text{(i)}、\text{(ii)}について

 約数とは、ある数を割り切ることができる数のことです。そして、2つ以上の数を挙げ、それぞれの約数で共通するもののことを公約数、公約数のうち最大のものを最大公約数といいます。

ある数の約数のうち必ずある数自身が最大の約数となるので、abの公約数になりうる数の中で最大のものはaの最大の約数aであり、aより大きくbの最大の約数b以下の公約数は存在しません。
すなわち、\text{(i)}は正しく、\text{(ii)}は誤りであることがわかります。


\text{(iii)}について

 互いに素とは共通する正の約数が1しかないことなので、最大公約数が1であることと同値です。
したがって、\text{(iii)}は正しいことがわかります。

\text{(iv)}について

 \text{gcd}(a,b)=aより、abを割り切ることができる数であることがわかります。なので、そのときの商をkとおくと\dfrac{b}{a}=k、両辺にaを掛けて
b=ak
となります。この式よりbaの倍数であることがわかります。
したがって、\text{(iv)}は正しいです。

\text{(v)}について

 例を挙げると、\text{gcd}(9,12)=3の場合12÷9=1余り3となり一致しますが、\text{gcd}(9,15)=3の場合は15÷9=1余り6となり一致しません。
必ずしも最大公約数と余りが一致することはないので\text{(v)}は誤りであることがわかります。
ですが、最大公約数を求める方法であるユークリッドの互除法で0でない余りとして最後に現れる数は最大公約数と等しくなります。

 以上より答えは\text{(ii),(v)}となります。

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